¿Qué significa la densidad de carga en la forma diferencial de la ley de Gauss?

Question

¿Qué significa la densidad de carga en la forma diferencial de la ley de Gauss?

Física
Ley de Gauss
electrostática
ecuaciones de maxwell

Ajay Shanmuga Sakthivasan

Digamos que tengo una esfera uniformemente cargada de carga total Q y radio R. El campo eléctrico debido a esta distribución de carga en r=R/2 viene dado por,

mi = \frac{k q}{2 R^{2}} \hat{r}

$E = \frac{kQ}{2R^2}\hat{r}$ (Esto se derivó de la forma integral de la Ley de Gauss). Supongamos que tengo esta expresión y debo encontrar la distribución de carga, usaré la forma diferencial, que dice que

\nabla . mi = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\nabla.E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

\nabla . E

$\nabla.E$ me dará

\frac{δ^{3} (r) Q}{2 ϵ_{0}}

$\frac{\delta^3(r)Q}{2\epsilon_0 }$ y esto es igual

\frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\frac{\rho}{\epsilon_0}$ . Cuando integro esta distribución de carga en todo el espacio, obtendré Q/2 y no Q, es decir,

∭ ρ d V = ∭ \frac{d^{3} (r) q}{2} = \frac{q}{2}

$\iiint\rho dV = \iiint\frac{\delta^3(r) Q}{2} = \frac{Q}{2}$ Entonces, ¿la densidad de carga en la forma diferencial de la ley de Gauss corresponde a la carga encerrada por la superficie gaussiana inicial que se usó para derivar el campo eléctrico? ¿Por qué falta la parte restante de la distribución de carga? ¿Estoy haciendo las cosas bien en primer lugar? Gracias de antemano.

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Frobenius · Answer 1

Densidad de carga de volumen uniforme

\begin{matrix} (01) & ρ_{v} = \frac{q}{V} = \frac{3 q}{4 π R^{3}} \end{matrix}

$\begin{equation} \rho_{\rm v}=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}} \tag{01} \end{equation}$ Ley de Gauss sobre una bola de radio

r < R

$\:r<R$ (simetría esférica)

\begin{matrix} (02) & mi \cdot 4 π r^{2} = \frac{ρ_{v}}{ϵ_{0}} \cdot \frac{4 π}{3} r^{3} = \frac{q}{ϵ_{0}} \cdot \frac{r^{3}}{R^{3}} \end{matrix}

$\begin{equation} E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{\rho_{\rm v}}{\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{4\pi}{3}r^{3}=\dfrac{Q}{\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r^{3}}{R^{3}} \tag{02} \end{equation}$ entonces

\begin{matrix} (03) & mi (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{R^{3}} r = k \frac{q}{R^{3}} r \end{matrix}

$\begin{equation} E(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{R^{3}}r=k \dfrac{Q}{R^{3}}r \tag{03} \end{equation}$ y en forma vectorial

\begin{matrix} (04) & mi (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{R^{3}} r \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{R^{3}}\,\mathbf{r} \tag{04} \end{equation}$ Ahora

\begin{matrix} (05) & \nabla \cdot mi = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{R^{3}} \underset{3}{\underset{⏟}{\nabla \cdot r}} = \frac{3 q}{4 π ϵ_{0} R^{3}} = \frac{ρ_{v}}{ϵ_{0}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{R^{3}}\,\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}}_{3}=\dfrac{3Q}{4\pi\epsilon_{0} R^{3}}=\dfrac{\rho_{\rm v}}{\epsilon_{0}} \tag{05} \end{equation}$

Gracias, encontré mi error. La ecuación del campo electrostático debe ser una función. Pero en mi caso, es el valor del campo en un punto específico.

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Ajay Shanmuga Sakthivasan

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Frobenius

Ajay Shanmuga Sakthivasan

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