Divergencia del campo eléctrico debido a una carga puntual [duplicado]

Estoy tratando de aprender electrodinámica formalmente por mi cuenta (solo tomé un curso introductorio). Me he encontrado con la forma diferencial de la Ley de Gauss.

∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0 .

Eso está bien y todo, pero me encuentro con lo que creo que es un malentendido conceptual al evaluar esto para una carga puntual.

Sé que las matemáticas se ven mejor en coordenadas esféricas, pero usaré cartesiano.

Así que cuando calculo la divergencia obtengo:

∇ ⋅ mi = ∇ ⋅ k q ⟨ X ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 , y ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 , z ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ⟩ = − 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) ( X 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 + 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 .

Esto se puede simplificar aún más:

− 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) ( X 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 + 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 = 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 − 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 = 3 − 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 .

Ahora instintivamente diría que 3-3 es cero y luego el tiempo es cero en todas partes. Estoy confundido en cuanto a por qué (matemáticamente) esta expresión no es igual a cero en el origen. Entiendo completamente por qué físicamente tiene que ser así. Y también entiendo que está modelado con la función delta dirac. Pero, ¿qué (de nuevo, matemáticamente) me impide decir que la ecuación es simplemente cero incluso en el origen?

Sugerencia: está aplicando las reglas de diferenciación donde el campo no está definido/singular/no diferenciable.
¡Sí! Muy cierto. Gracias. Debería haber pensado en eso.
No es costumbre usar paréntesis angulares para denotar componentes de un vector. Mejor use () o [].
Cogí el hábito del paréntesis angular de los matemáticos.

Respuestas (1)

Lo que quieres calcular es esencialmente

∇ → X → | X → | 3
Al origen. Por supuesto, eso no existe como una función ya que el campo es singular. Por otro lado, ya has demostrado que se desvanece en todas partes.

Por lo tanto, debe interpretar la expresión en un sentido débil, es decir, como una distribución, y considerar la integral

∫ B ϵ ∇ → X → | X → | 3 d 3 X
sobre algún volumen que contenga el origen, convenientemente elegido como una bola de radio ϵ , conviértalo en una integral de superficie que no incluya la singularidad y vea que el resultado es finito.

Usaste una frase aquí sobre la que me gustaría preguntarte. Dijiste "eso no existe como una función ya que el campo es singular". No he estudiado (para mi consternación) álgebra abstracta. Cuando los matemáticos usan la frase CAMPO vectorial, ¿en realidad están hablando de un tipo de campo en el sentido AA?
@Ben: No, lo estoy usando en el sentido simple de "función definida en cada punto del espacio": el campo eléctrico asigna un vector a cada punto X , es decir, es una función de una variable X ∈ R 3 , y en este caso, la función es sigular y no diferenciable en X = 0 .
Divergencia del campo eléctrico debido a una carga puntual [duplicado]
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