Delta de Dirac, paso de Heaviside y densidad de carga volumétrica

Question

Delta de Dirac, paso de Heaviside y densidad de carga volumétrica

cargar
Física
Ley de Gauss
electrostática
campos eléctricos
distribuciones-dirac-delta

Michael Levy

Contexto

Hay muchas preguntas en esta cita web relacionadas con la pregunta en cuestión. Ninguno de ellos satisface mis necesidades. Mientras leía [1], me encontré con lo siguiente:

"Un anillo de carga de radio $a$ y carga total $Q$ ... La densidad de carga del anillo se puede escribir con la ayuda de la función delta en ángulo y radio como
$ρ (X^{'}) = \frac{q}{2 π a^{2}} d (r^{'} - a) d (porque θ^{'}) .''$ $\rho(\mathbf{x}') = \frac{Q}{2\,\pi\,a^2}\,\delta(r'-a)\,\delta(\cos\theta').\text{''}$

Se indica gráficamente que el anillo de carga está alrededor del origen y es horizontal. Por lo tanto, $\theta' = \frac{\pi}{2}$ alrededor de todo el anillo.

Primero voy a reescribir Jackson's $\rho$ en una forma que me sea más familiar, y luego voy a integrar la densidad para ver si puedo recuperar la carga total del anillo $Q$ . De [2], sé que $\delta(cos\theta'- cos\theta)= \frac{\delta(\theta'-\theta)}{\sin\theta}$ . A la luz de esto, puedo reescribir la carga de densidad de Jackson como

\begin{matrix} (1) & ρ (X^{'}) = \frac{q}{2 π a^{2}} d (r^{'} - a) \frac{d (θ^{'} - \frac{π}{2})}{pecado \frac{π}{2}} . \end{matrix}

$\rho(\mathbf{x}') = \frac{Q}{2\,\pi\,a^2}\,\delta(r'-a)\,\frac{\delta\left(\theta' -\frac{\pi}{2}\right)}{\sin{\frac{\pi}{2}}}.\tag{1}$

Entonces,

\begin{aligned} ∭_{R^{3}} ρ (r^{'}, θ^{'}, ϕ^{'}) d τ^{'} \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} \frac{q}{2 π a^{2}} d (r^{'} - a) d (θ^{'} - \frac{π}{2}) \frac{[tu (ϕ^{'} - 0) - tu (ϕ^{'} - 2 π)]}{pecado \frac{π}{2}} {r^{'}}^{2} pecado θ^{'} d r^{'} d θ^{'} d ϕ^{'} \\ = \frac{q}{2 π a^{2}} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} d (r - a) d (θ - \frac{π}{2}) [tu (ϕ - 0) - tu (ϕ - 2 π)] {r^{'}}^{2} pecado θ^{'} d r^{'} d θ^{'} d ϕ^{'} \\ = \frac{q}{2 π a^{2}} \int_{\frac{π}{2} - ϵ}^{\frac{π}{2} + ϵ} \int_{0}^{2 π} \int_{a - ϵ}^{a + ϵ} d (r^{'} - a) d (θ^{'} - \frac{π}{2}) pecado θ^{'} {r^{'}}^{2} d r^{'} d θ^{'} d ϕ^{'} \\ = \frac{q}{2 π a^{2}} 2 π a^{2} \\ = q \end{aligned}

$\begin{align*} & \iiint_{\mathbb{R}^3}\rho(r',\theta',\phi') \,d\tau' \\ &\,\,= \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty \frac{Q}{2\,\pi\,a^2} \,\delta\left( r' - a\right) \, \delta\left( \theta' - \frac{\pi}{2} \right) \, \frac{ \left[ u\left( \phi' - 0 \right)- u\left( \phi' - 2\,\pi \right)\right] }{ \sin\frac{\pi}{2} } \,{r'}^2\,\sin\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\phi' \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi\,a^2 } \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty \delta\left( r - a\right) \, \delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \, \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] \,{r'}^2\,\sin\theta'\, dr'\,d\theta'\,d\phi' \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi\,a^2} \int_{\frac{\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{\pi}{2}+\epsilon} \int_{0}^{2\,\pi }\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \delta\left( r' - a\right)\, \delta\left( \theta' - \frac{\pi}{2} \right) \,\sin\theta'\,{r'}^2 dr'\,d\theta'\,d\phi' \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi\,a^2} \, 2\,\pi\,a^2 \\\\ &\,\,= Q \end{align*}$ Si, recupero la carga total del anillo

Q

$Q$ . Sin embargo, hay un problema de notación. Considera lo siguiente.

Método alternativo

En [2], al definir la densidad en coordenadas esféricas, Boas utiliza una variable $r$ en el denominador. Esto a diferencia de un parámetro que da el radio particular---como $a$ . Usemos este enfoque alternativo y veamos si recuperamos la carga total del anillo. $Q$ .

Supongamos que hay un anillo de carga, con carga total $Q$ . El anillo existe en todos y cada uno de los puntos. $(r,\theta,\phi)$ en el conjunto

{(r, θ, ϕ) \in [0, \infty) \times [0, π] \times [0, 2 π) | r = a, θ = \frac{π}{2}, 0 \leq ϕ \leq 2 π} .

$\left\{ (r,\theta,\phi)\in [0,\infty)\times[0, \pi] \times [0,2\,\pi)\, \Bigr| \, r=a, \theta = \frac{\pi}{2} , 0 \leq \phi \leq 2\,\pi \right\}.$ En términos de la distribución delta de Dirac,

δ

$\delta$ , y la función escalón de Heaviside,

u

$u$ , la densidad de carga es

\begin{aligned} (2) & ρ (r, θ, ϕ) & = q d (r - a) \frac{d (θ - \frac{π}{2})}{r} \frac{[tu (ϕ - 0) - tu (ϕ - 2 π)]}{2 π r pecado θ} \end{aligned}

$\begin{align*} \rho(r,\theta,\phi) &= Q \, \delta\left( r - a\right) \, \frac{\delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)}{r} \, \frac{ \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] }{ 2\,\pi\,r\,\sin\theta }\tag{2} \end{align*}$ De este modo,

\begin{aligned} ∭_{R^{3}} ρ (r, θ, ϕ) d τ \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} q d (r - a) \frac{d (θ - \frac{π}{2})}{r} \frac{[tu (ϕ - 0) - tu (ϕ - 2 π)]}{2 π r pecado θ} r^{2} pecado θ d r d θ d ϕ \\ = \frac{q}{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} d (r - a) d (θ - \frac{π}{2}) [tu (ϕ - 0) - tu (ϕ - 2 π)] d r d θ d ϕ \\ = \frac{q}{2 π} \int_{\frac{π}{2} - ϵ}^{\frac{π}{2} + ϵ} \int_{0}^{2 π} \int_{a - ϵ}^{a + ϵ} d (r - a) d (θ - \frac{π}{2}) d r d θ d ϕ \\ = \frac{q}{2 π} 2 π \\ = q \end{aligned}

$\begin{align*} & \iiint_{\mathbb{R}^3}\rho(r,\theta,\phi) \,d\tau \\ &\,\,= \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty Q \,\delta\left( r - a\right) \, \frac{\delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)}{r} \, \frac{ \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] }{ 2\,\pi\,r\,\sin\theta } \,r^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi } \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty \delta\left( r - a\right) \, \delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \, \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi} \int_{\frac{\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{\pi}{2}+\epsilon} \int_{0}^{2\,\pi }\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \delta\left( r - a\right)\, \delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \, dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi}\, {2\,\pi} \\\\ &\,\,= Q \end{align*}$ De nuevo, recupero la carga total del anillo,

Q

$Q$ . Sin embargo, me parece que ambas maneras de describir

ρ

$\rho$ puede que ambos no tengan razón. Tal vez ambos produzcan el mismo resultado en este problema, pero eso no indica que ambos sean correctos.

Preguntas

¿Qué expresión para la densidad de carga es correcta, la expresión dada por la Ecuación 1 o la expresión dada por la Ecuación 2? ¿Cómo?

Bibliografía

[1] Jackson, Electrodinámica clásica, 3.ª edición, pág. 123.

[2] Boas, Métodos Matemáticos en las Ciencias Físicas, 3ra Edición, p. 457, 460.

secavara

Creo que es seguro afirmar que

f (r) δ (r - a) = f (a) δ (r - a)

$f(r) \delta(r-a) = f(a) \delta(r-a)$ , por lo que son básicamente lo mismo. Qué es

u

$u$ en tus expresiones?

Carcaj

La función delta fija los valores de las diversas variables, por lo que nada ha cambiado.

secavara

@MichaelLevy Quiero decir, lo haces... Es una función, supongo, ya que tienes, por ejemplo,

u (ϕ - 0)

$u(\phi - 0)$ , pero cual es?

AFG

@secavara Es la función de paso de Heaviside.

secavara

Veo bien. Parece un poco innecesario en este caso, pero está bien.

Respuestas (1)

Delta de Dirac, paso de Heaviside y densidad de carga volumétrica

Creo que es seguro afirmar que $f(r) \delta(r-a) = f(a) \delta(r-a)$ , por lo que son básicamente lo mismo. Qué es $u$ en tus expresiones?
La función delta fija los valores de las diversas variables, por lo que nada ha cambiado.
@MichaelLevy Quiero decir, lo haces... Es una función, supongo, ya que tienes, por ejemplo, $u(\phi - 0)$ , pero cual es?
Veo bien. Parece un poco innecesario en este caso, pero está bien.

ytlu · Answer 1

porque hay un $\delta(r-a)$ en el $\rho(\vec{r})$ , por lo tanto, en lo que respecta a la integral, estas dos expresiones dan la misma respuesta al resultado de la integración. Sólo se pueden diferenciar en sus derivados.

Para simplificar la escritura y sin perder la esencia del problema, consideremos una distribución de carga de shell en $r=a$ con simetría esférica. Las dos expresiones se convierten en:

la versión de jackson

\begin{matrix} (1) & ρ_{1} (r) = \frac{q}{4 π a^{2}} d (r - a) \end{matrix}

$\tag{1} \rho_1(r) = \frac{Q}{4\pi a^2} \delta(r-a)$

La versión de las boas

\begin{matrix} (2) & ρ_{2} (r) = \frac{q}{4 π r^{2}} d (r - a) \end{matrix}

$\tag{2} \rho_2(r) = \frac{Q}{4\pi r^2} \delta(r-a)$

La integración de cada densidad da:

\int \int \int_{Ω} ρ_{1} (\vec{r}) d^{3} \vec{r} = \int_{0}^{\infty} r^{2} d r \int_{0}^{π} pecado θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ \frac{q}{4 π a^{2}} d (r - a) = q

$\int\int\int_{\Omega} \rho_1(\vec{r}) d^3\vec{r} = \int_0^\infty r^2dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \frac{Q}{4\pi a^2} \delta(r-a) = Q$

Para derivar, consideremos la siguiente integral

\int_{- \infty}^{\infty} F (X) d^{'} (X - ξ) d X = F (X) d (X - ξ) |_{- \infty}^{\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} F^{'} (X) d (X - ξ) d X = - F^{'} (ξ) .

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta'(x-\xi) dx = f(x) \delta(x-\xi) |_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty f'(x) \delta(x-\xi) dx = -f'(\xi).$ Los elementos de frontera desaparecen mientras

f (x)

$f(x)$ es finito como

x \to \pm \infty

$x \to \pm\infty$ .

Examinemos la integral de la función delta derivada:

\begin{matrix} (3) & \int \int \int_{Ω} ρ_{1}^{'} (\vec{r}) F (r) d^{3} \vec{r} = \frac{q}{4 π a^{2}} \int_{0}^{\infty} r^{2} d r \int_{0}^{π} pecado θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ F (r) d^{'} (r - a) = \frac{q}{a^{2}} \int_{0}^{\infty} r^{2} F (r) d^{'} (r - a) d r = - \frac{q}{a^{2}} {[\frac{d}{d r} r^{2} F (r)]}_{r = a} \end{matrix}

$\tag{3} \int\int\int_{\Omega} \rho_1'(\vec{r}) f(r) d^3\vec{r} = \frac{Q}{4\pi a^2}\int_0^\infty r^2dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi f(r) \delta'(r-a)\\ = \frac{Q}{a^2} \int_0^\infty r^2 f(r) \delta'(r-a) dr\\ = - \frac{Q}{a^2} \left[ \frac{d}{dr}r^2 f(r) \right]_{r=a}$

Además, prueba la integral con $\rho_2'(r-a)$

\begin{matrix} (4) & \int \int \int_{Ω} ρ_{2}^{'} (\vec{r}) F (r) d^{3} \vec{r} = \frac{q}{4 π} \int_{0}^{\infty} r^{2} d r \int_{0}^{π} pecado θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ F (r) \frac{d}{d r} (\frac{d (r - a)}{r^{2}}) = q \int_{0}^{\infty} r^{2} F (r) \frac{d}{d r} (\frac{d (r - a)}{r^{2}}) d r = - q {[\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} r^{2} F (r)]}_{r = a} \end{matrix}

$\tag{4} \int\int\int_{\Omega} \rho_2'(\vec{r}) f(r) d^3\vec{r} =\frac{Q}{4\pi} \int_0^\infty r^2dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi f(r) \frac{d}{dr} \left( \frac{\delta(r-a)}{r^2} \right)\\ = Q \int_0^\infty r^2 f(r) \frac{d}{dr}\left( \frac{\delta(r-a)}{r^2} \right) dr\\ = - Q \left[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2 f(r) \right]_{r=a}$

Para la mayoría de las funciones regulares de $f(r)$ , estas dos formas son exactamente iguales. Obsérvese la forma de diferenciación, doy mi voto a la segunda expresión. La forma diferencial se parece a la de $\nabla \cdot f(r)\hat{r}$ .

no estas usando $\rho_2'$ , Según tu publicación, $\rho_2 = \delta(r-a) /r^2$ . Su derivado incluye la diferenciación de $1/r^2$ , tiene más términos que solo la derivada de $\delta'$ .
Ese también es un buen examen al tomar solo la derivada de la función delta, y ver cuánto hará la diferencia. Pruebe y vea si hay una historia que contar.
@MichaelLevy lo intento $f(r)= \sin(1- r/a) / (r-a)$ . Pero el término adicional $1/r^2$ en $\rho_2'$ no hace la diferencia, mi error, no lo consideré a fondo.
Me parece que deberías agregar un predicado como ``para cualquier función $f(r)$ es tal que $\lim_{r \to a} \frac{d}{dr}r^2 f(r) = L$ para finito $L$ , y mientras $r,a\neq 0$ , estas dos formas serán idénticas. En otras palabras que $f\in C^{1}\left(\left[a-\epsilon, a+\epsilon \right]\right)$ (cf., en.wikipedia.org/wiki/Function_space )
Lo que aún no entiendo del todo es qué te motiva a ponerte en la función $f$ en absoluto. ¿Se relaciona de alguna manera con la solución de un problema de valores en la frontera? Si es así o no, por favor explique su motivación. Esencialmente, quiero entender por qué tomaste este enfoque.
Es una forma bastante típica de investigar la $\delta$ función. junto al $\int \delta(x) dx = 1$ , todas las demás características de $\delta$ función siempre implicando un $f(x)$ . En particular, no podemos integrar $\delta'(x)$ sin la existencia de otra función $f(x)$ .
Supongo que déjame plantearlo de la siguiente manera. que seria $f(x)$ estar en un problema de valores en la frontera? Bueno, si quisiéramos calcular la energía de la configuración, entonces $W = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\,\rho\,V\,d\tau$ . Entonces $f$ podría ser $V$ en este caso. ¿Qué otras funciones podríamos esperar ver o usar en este contexto?
Expansión multipolar como otro ejemplo, $Q_{ijk..} = \int_\Omega x_i x_j..\rho(\vec{r}) d^3\vec{r}$ .
Desde un punto de pura matemática, $\delta$ La función no tiene significado sin adjunta a otra función. Y las propiedades de $\delta$ función sólo tienen sentido en relación con su efecto a la función adjunta. Por lo tanto, estudie las características de un $\delta$ función, una función adjunta general es necesaria, en mi punto.

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