Lo que tienes toda la razón

1) La ley establece que$\nabla\cdot E=\frac{1}{\epsilon 0}\rho$, pero cuando lo calculo directamente obtengo que$\nabla\cdot E=0$(al menos para$r\neq0$).

¡Impresionante! Verá, si ha derivado esto basándose en el$\vec E$campo de una carga puntual de Coulomb, entonces$\rho = 0$para$r \ne 0.$Así que estás de acuerdo en todos los puntos, excepto quizás en el punto cero.

Donde las cosas empiezan a ponerse sospechosas

2) Ahora$\iiint\limits_\nu \nabla\cdot E d\tau$debe ser cero sin importar cuál sea el valor de la divergencia en 0, ya que la divergencia es cero en todas partes menos en 0 (en contraste con la ley que establece que no es cero).

Aquí es donde está ocurriendo el problema. La forma correcta de visualizar la carga puntual, como$\rho$, es un Dirac 3D$\delta$-función. La función delta 1D Dirac es algo que actúa sospechosamente como una función$\delta(x) = 0, x\ne 0$pero que tiene un pico infinitamente alto en$x=0$tal que para todos$\epsilon > 0$tenemos$\int_{-\epsilon}^{\epsilon}dx~\delta(x) = 1$. Por supuesto, no es una función real, pero puede tratarla de esa manera porque puede sustituir algunas funciones reales, como$\delta_s(x) = (2\pi s^2)^{-1/2} \exp[-x^2/(2s^2)],$y luego fuera de la integral puedes tomar el límite como$s \rightarrow 0$para obtener soluciones finitas que se comporten precisamente de esta manera. Dado que la función gaussiana también es suave, incluso se puede definir$\delta'(x), \delta''(x),\dots$a través de$\delta_s'(x), \delta_s''(x),\dots$; funcionan como cabría esperar si ingenuamente hicieras la integración por partes. Eventualmente, puede entenderlos en un álgebra de "transformaciones integrales" que se definen principalmente especificando una función real para actuar como el "núcleo" de la transformación. el dirac$\delta$-función surge al agregar una transformación que no se puede especificar de esta manera pero que sigue siendo extremadamente importante: la transformación de identidad. Es precisamente porque satisface$\int_{-L}^{L} dx~\delta(x - x_0)~f(x) = f(x_0)$que lo adjuntemos a nuestra lista de transformación; y en esta matemática de "distribuciones" tienes que, por ejemplo,$[\delta(x)]^2 = 0.$

Generalizando a 3D y manejando la primera Ecuación de Maxwell

Como no puede multiplicarlos significativamente, el 3D$\delta$-función debe construirse en coordenadas esféricas como un límite diferente:

$$\delta^3_s(r,\theta,\phi) = \frac{1}{2\pi r^2} \frac{1}{\sqrt{2\pi s^2}} ~ \exp\left[-\frac{r^2}{2s^2}\right]$$

Para calcular el$\vec E$campo para esta distribución de carga, necesita un resultado sobre$1/r^2$leyes de fuerza (por ejemplo, podría haberlo visto en el contexto de la gravedad) que establece que una capa esférica de masa$M$en promedio no tiene campo interno, mientras que externamente se comporta como si toda su masa estuviera ubicada en su centro. Entonces, el campo en cualquier superficie esférica se obtiene calculando toda la carga dentro de esa esfera, usando$\rho_{\text{point}} = q_0 ~ \delta^3_s(r,\theta,\phi).$Esta carga encerrada en el radio$R$es:

$$q_s(R) = \int_{r<R} dV ~ q_0~ \delta^3_s(r,\theta,\phi) = 2~q_0~ \int_0^R \frac{dr}{\sqrt{2\pi s^2}} ~ \exp\left[-\frac{r^2}{2s^2}\right].$$ Definición $\chi(z) = \int_0^z \frac{dx}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2)$esto es simplemente $$q_s(R) = 2~q_0~\chi(R/s).$$ Es una integral que no se puede expresar en términos de funciones elementales, pero eso no nos importará demasiado. Nuestra receta de que el campo solo se debe a la carga encerrada en la esfera de radio. $r$, todo actuando como si estuviera en el origen, significa que el $\vec E$-el campo es puramente radial y es $$\vec E = \frac{q_s(r)}{4\pi\epsilon_0 r^2}~\hat r.$$ Luego, buscando la fórmula para la divergencia en coordenadas esféricas, encontramos que aquí se simplifica a: $$\nabla\cdot\vec E = \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 E_r) = \frac{q_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} ~ \frac{2}{s} ~\chi'(r/s) = \frac{q_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} ~ \frac{2}{s} ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{r^2}{2 s^2}\right]$$ Pero, por supuesto, esto es solo: $$\nabla \cdot \vec E = \frac{q_0}{\epsilon_0} ~ \delta^3_s(r).$$ Ahora puedes ver: para el 3D "real" $\delta$-función, esta divergencia es cero para $r > 0$. Pero contiene una divertida divergencia en cero que codifica la carga puntual $q_0$ubicado en ese punto. ¡Y podemos ver esto porque todo lo que escribimos es exacto! Así que solo hacemos $s$pequeño pero finito, digamos, $10^{-100}\text{ m}$más o menos: toda esta divergencia ocurre en este espacio que es mucho, mucho más pequeño que cualquier cosa que realmente nos importe, y luego fuera de ese espacio obtenemos $\nabla \cdot E = 0$.

Saltar, saltar, saltar: QED.

Entonces, puede preguntarse, ¿por qué necesitábamos el 3D?$\delta$-función en primer lugar? ¡Todo lo que realmente hemos usado es simetría esférica y el teorema fundamental del cálculo! La respuesta es que ahora estamos a un paso del resultado general . La poderosa característica del 3D$\delta$-función es la de cualquier función continua$\rho(\vec r) : \mathbb R^3\to\mathbb R$tenemos:

$$\rho(\vec r) = \int d^3r'~\delta^3(\vec r - \vec r') \rho(\vec r').$$ Declaramos que vamos a usar el principio de superposición para sumar pequeñas fuerzas $\vec E = \int d\vec E(\vec r')$cada uno debido a un cargo $dq_0 = \rho(\vec r')~d^3r'$sentado en el punto $\vec r'.$

Realizando esta integral vemos que podemos intercambiar con el operador de divergencia (es la divergencia con respecto a$\vec r$, estamos integrando fundamentalmente sobre$\vec r'$), entonces tenemos:

$$\nabla\cdot\vec E = \int d^3r' ~ \rho(\vec r') \delta^3_s(\vec r - \vec r') / \epsilon_0.$$ Tomando el límite como $s \rightarrow 0$obtenemos simplemente: $$\nabla\cdot\vec E = \rho(\vec r) / \epsilon_0.$$

Post mortem

3) un. La prueba en sí continúa usando el teorema de la divergencia para establecer que para cualquier volumen$\nu$,$\iiint\limits_\nu \nabla\cdot E d\tau = \iint\limits_{\partial\nu} E d a$, sin embargo, el teorema de la divergencia requiere que E sea continuamente diferenciable en todas partes en$\nu$(no es diferenciable en 0, y mucho menos continuamente diferenciable allí).

b. La función no se puede corregir de ninguna manera en 0 ya que la derivada tiende a infinito alrededor de 0.

C. El punto 0 no se puede quitar del volumen integrado porque el teorema de la divergencia requiere que el volumen de integración sea compacto.

d. A la luz de lo anterior, no veo cómo se puede usar aquí el teorema de la divergencia.

Usamos el teorema de la divergencia cuando$s$todavía se supone que es finito, por lo que no hay infinitos y el resultado es exactamente lo que queríamos. Entonces obtenemos el resultado en el límite como$s\to 0,$y luego interpretamos la ecuación resultante como universalmente válida porque (a) obedece la ley de superposición y (b) reproduce el resultado "correcto" nuevamente para la fuerza de Coulomb si establecemos$\rho = q_0 \delta^3_{s'}(\vec r),$y tome el límite como$s'\to 0$.

Como se señaló en los comentarios, se encuentra con problemas al intentar describir una carga puntual utilizando una función de densidad de carga$\rho(r)$. Hay tres formas de evitar esto:

1. Lo que habría hecho un físico anterior al siglo XX: Reemplazar la carga puntual por una esfera de radio$R$y carga total$q$. Todo está bien definido, el cálculo estándar funciona bien y puedes tomar el límite$R \rightarrow 0$al final, si quieres.

2. Lo que haría Dirac (y la mayoría de los físicos modernos): ignorar todas las dificultades y tratar la densidad de carga como una función delta (tridimensional) $\delta(r)$, que tiene$\delta(r) = 0$para todos$r \neq 0$pero$\int \mathrm{d}^3r \, \delta(r) = 1$.

3. Lo que hacen los matemáticos: describen la densidad de carga usando una distribución , en lugar de una función convencional. (Esta es realmente solo una versión más rigurosa de la opción 2).

Este es uno de esos casos en los que esencialmente puedes ignorar las sutilezas matemáticas, porque, si haces todo con rigor, las cosas salen más o menos como esperabas. (Obviamente, hay muchos ejemplos en los que este no es el caso, y lo que parecen ser molestos detalles matemáticos resultan ser importantes sutilezas físicas disfrazadas).