¿Por qué podemos usar la proyección 2D de una superficie gaussiana 3D para calcular el flujo eléctrico?

Para calcular el flujo eléctrico que pasa por un lado de un cono sin carga neta encerrada, originalmente pensé que necesitabas tomar áreas infinitesimales y puntear el vector normal con el vector de campo e integrar. Sin embargo, descubrí que puedes tomar la proyección 2D del cono, encontrar el área y multiplicarla por el campo para obtener el flujo. Sin embargo, estoy un poco confundido sobre por qué esto funciona. El área de la proyección 2D es diferente del área de la superficie de la mitad del cono, y la ley de Gauss tiene una integral de áreas.

Tengo la sensación de que la discrepancia de área se compensa por el hecho de que el producto escalar entre los vectores compensa esta diferencia. ¿Tiene esto algo que ver con la forma en que la proyección vectorial se relaciona con el producto escalar? No estoy muy familiarizado con la intuición profunda de esto, pero tengo curiosidad por qué esta discrepancia en el área da el mismo flujo.

Respuestas (2)

Se trata de cuántas "líneas de campo" atraviesan. Estos determinan el flujo que pasa y no cambian cuando el objeto se dibuja en 3D.

  • Es como poner una malla de alambre de avión en una corriente de agua y contar las partículas de agua que pasan.
  • Si coloca una malla de alambre en forma de media esfera, aún cuenta la misma cantidad de partículas que pasan al mismo tiempo. Simplemente tienen más área por partícula.

De la misma manera, un objeto 3d da un área total más grande pero con "menos" líneas de campo por área. La sección transversal correspondiente tiene un área más pequeña y "más" líneas por área. Resulta que la "cantidad" de líneas es la misma. Dado que el área de la sección transversal es más fácil de calcular, eso es lo que hace la gente.

y la ley de Gauss tiene una integral de áreas

Gauss tiene una integración del producto escalar del campo eléctrico y las áreas que es diferente.

Por lo que has escrito, supongo que el campo eléctrico mi → es constante

Para un pequeño elemento de área d A → necesita evaluar el flujo eléctrico a través de esa área mi → ⋅ d A → .

ingrese la descripción de la imagen aquí

Evaluar el producto escalar da mi d A porque ⁡ θ .
Ahora verás en el diagrama que d A porque ⁡ θ es solo la proyección del área que está en ángulo recto con el campo eléctrico.
Siempre que el campo eléctrico sea constante, puede realizar la misma proyección sobre una superficie y evaluar el flujo eléctrico total multiplicando la magnitud del campo eléctrico por el área total proyectada.

Si el campo eléctrico no es uniforme, todas las áreas proyectadas en ángulo recto con el campo eléctrico no estarán en el mismo plano.

¿Por qué podemos usar la proyección 2D de una superficie gaussiana 3D para calcular el flujo eléctrico?
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