¿Es válida la ley de Gauss para campos eléctricos dependientes del tiempo?

Debe tener cuidado con lo que quiere decir con el término ambiguo "derivar", que puede significar "se derivó históricamente" (es decir, fue motivado por o es un derivado de, en el sentido no matemático) o "se deriva lógicamente/matemáticamente" .

Históricamente , creo que tienes razón en que$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$fue "derivado" por Maxwell de la versión electrostática$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\rho(\textbf{r})}{\epsilon_0}$, que a su vez se "deriva" de la ley de Coulomb.

Lógicamente , es al revés.$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$es una ley fundamental del universo (al menos lo es en el electromagnetismo clásico; en realidad se "deriva" de la electrodinámica cuántica). La versión electrostática de la misma se puede "derivar" matemáticamente de esta ley como un caso especial. Lo mismo ocurre con la ley de Coulomb.

No, no podemos probarlo; Maxwell postuló que se mantendría dinámicamente porque tenía más sentido que lo hiciera mientras reflexionaba sobre el problema de la corriente de desplazamiento. Como probablemente sepa, Maxwell reflexionó sobre la inconsistencia entre la ley de Ampère para la magnetostática y la ecuación de continuidad de carga. La ley de Ampère para la magnetostática dice$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}$; cuando tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación obtenemos$0=\nabla\cdot\vec{J}$para cualquier campo magnético con segundas derivadas continuas. Esto viola la ecuación de continuidad de carga; nosotros necesitamos$0=\nabla\cdot\vec{J} + \partial_t\,\rho$. Entonces necesitamos agregar un término a la derecha de la ley de Ampère en el caso dinámico cuya divergencia es la densidad de carga$\rho$. La solución más sencilla es suponer que la ley de la electrostática de Gauss se cumple en el caso dinámico: luego sumamos el desplazamiento eléctrico a la RHS de la de Ampère y tiene la divergencia correcta para que todo esté correctamente de acuerdo con la ecuación de continuidad. Tenga en cuenta que también podemos agregar un vector arbitrario de la forma$\nabla\times \vec{N}$al desplazamiento eléctrico para que esto funcione, pero este grado de libertad no afecta la ley de Gauss.

Maxwell derivó sus ecuaciones de 1) ley de conservación de carga; 2) ley de Coulomb; 3) Bio--Savart--ley de Laplace; 4) Ley de inducción de Faraday. La ecuacion$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\rho(\textbf{r})}{\epsilon_0}$de hecho se derivó de la ley de Coulomb y en su forma diferencial se escribe usando el teorema de Gauss--Ostrogradskiy. Maxwell dio un paso más y sugirió (postuló) que la misma ley es cierta cuando$\mathbf{E}$y$\mathbf{\rho}$son funciones del espacio Y del tiempo. Resultó ser una suposición correcta y no contradice las otras ecuaciones. De hecho, de Bio--Savart--Laplace ley Maxwell derivó$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}$. Si toma la divergencia de ambos lados de esta ecuación, contradice la ley de conservación de la carga, por lo que se debe agregar un término adicional a esta ecuación (la llamada corriente de desplazamiento). Y entonces, la ecuación resultante no contradirá la ecuación que obtenemos después de derivar$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$con respecto al tiempo y, de hecho, la comparación de estas dos ecuaciones nos permite encontrar la corriente de desplazamiento.

Bueno, no sé si podemos probarlo, pero hay una forma mucho más elegante de formular EM que puede ser útil aquí. Como sabrá, hay dos potenciales en EM: el potencial escalar$\phi$y el vector potencial$\vec{A}$, a partir del cual$\vec{E}(t,x)$y$\vec{B}(t,x)$son derivados. A partir de estos dos objetos y siguiendo consideraciones de simetría se puede construir un tensor$F$llamado tensor de intensidad de campo (básicamente es un tensor antisimétrico 4x4 cuyas entradas son los componentes de$\vec{E}$y$\vec{B}$. Lo interesante es que este tensor satisface una identidad matemática ($dF=0$) a partir del cual se obtienen las cuatro ecuaciones de Maxwell, y dado que estábamos considerando campos dependientes del tiempo, esto puede ser una especie de "prueba" para su pregunta.

La divergencia del componente del campo eléctrico de una onda TEM es cero (este campo es solo rotacional y libre de divergencia).

La ley de Maxwell-Gauss para campos dinámicos debería ser válida. Se puede comprobar esto derivando el campo eléctrico de Jefimenko, véase la ecuación (10) y posteriormente derivando la divergencia del campo eléctrico de Jefimenko, que debería producir$\frac{\rho(\vec r,t)}{\epsilon_0}$. Esta es solo una verificación de consistencia de la teoría; la demostración experimental de la ley de Gauss para campos dinámicos es más importante.