¿Fue Cramér el primero en interpretar el 1/log(x)1/log⁡(x)1/\log(x) del PNT como probabilidad de números primos?

El modelo probabilístico de números primos de Cramér se basa en el supuesto de que la probabilidad de norte ser primo es

PR ( norte ) = 1 registro ⁡ ( norte )

Este no es un gran salto del Teorema de los Números Primos que nos dice que la densidad de números primos es aproximadamente 1 / registro ⁡ ( X ) , una aproximación que es asintóticamente más precisa para valores más grandes X .

Mi pregunta es, ¿fue Harald Cramér el primero en usar esta densidad como probabilidad, en la década de 1930?

Su famoso artículo fue publicado en 1936/7 ( pdf ).

Gauss había descubierto esto mucho antes (la densidad de números primos cerca de un gran norte esta alrededor 1 / registro ⁡ norte ) y fue la razón por la que conjeturó PNT con la aproximación ∫ 2 X d t / registro ⁡ t . Cramer fue el primero en aplicar teoremas no triviales en la teoría de la probabilidad para conjeturar propiedades de los números primos utilizando ese modelo de densidad.

Respuestas (2)

Un buen lugar para buscar es el artículo de Granville "Harald Cramér y la distribución de los números primos". Está en el sitio web de Granville aquí . Trae el trabajo de Cramér a partir de la parte inferior de la página 19. La razón por la que Cramér merece tener este modelo probabilístico para los números primos que lleva su nombre es que fue mucho más lejos que nadie antes que él en la exploración de las consecuencias de los números primos básicos. 1 / registro ⁡ norte heurística a números primos. Aplicó teoremas no triviales de la teoría de la probabilidad para hacer predicciones sobre los números primos en un estilo que nadie había hecho antes. Esto no probó directamente nada acerca de los números primos, y Cramér lo reconoció, pero el simple hecho de tener una idea de lo que podría ser cierto suele ser muy importante para tratar de comprender cómo encajan los patrones matemáticos.

Como menciona el profesor K. Conrad, la respuesta corta a esta pregunta es NO.

Alrededor de 1792, Gauss ya sabía que la "frecuencia [de los números primos] es, en promedio, inversamente proporcional al logaritmo, de modo que el número de números primos por debajo de un límite dado norte es aproximadamente igual a ∫ 1 registro ⁡ norte d norte , donde se entiende que el logaritmo dado es hiperbólico".

Gauss mencionó estas investigaciones suyas a Johann Franz Encke en una carta fechada el 24 de diciembre de 1849. Dicha carta se puede encontrar aquí:

https://cims.nyu.edu/~tschinke/princeton/.gauss/Briefe-B.pdf

Si no recuerdo mal, una traducción completa al inglés de esta carta apareció al final del siguiente artículo:

LJ Goldstein, Una historia del teorema de los números primos, Amer. Matemáticas. Mensual 80 (1973), 599–615. MR 313171, https://doi.org/10.2307/2319162

Si no tiene acceso al artículo anterior, le recomendamos que eche un vistazo a esta nota de 2005 de Y. Tschinkel en BAMS.

Gracias. El modelo de Cramér lleva su nombre, y me pregunto por qué, porque ese modelo es el modelo muy simple que asume norte es primo con probabilidad 1 / en ⁡ ( norte ) . ¿He entendido mal cuál es el modelo de Cramér? ¿Por qué este modelo probabilístico no se llama modelo de Gauss?
Muy posiblemente el modelo se llamó así por el hecho de que "Cramér fue el primero en aplicar teoremas no triviales en la teoría de la probabilidad para conjeturar las propiedades de los números primos usando ese modelo de densidad" (cito aquí al profesor Keith Conrad)... El problema sobre el nombre también podría atribuirse simplemente a la ley de eponimia de Stigler: en.wikipedia.org/wiki/Stigler%27s_law_of_eponymy
Gracias. ¿Dónde puedo leer más del profesor Conrad, que parece una autoridad en esto?
¿Fue Cramér el primero en interpretar el 1/log(x)1/log⁡(x)1/\log(x) del PNT como probabilidad de números primos?
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