Distancia mínima entre dos cuerpos unidos por un resorte

Esta es mi solución. Lugar$m$a la izquierda descrita por la coordenada$x_1$y$M$a la derecha, descrito por la coordenada$x_2$, ambas coordenadas crecientes hacia la derecha. Llevar$\vec{F}$estar actuando sobre$M$a la derecha y$\eta_0$ser la separación natural del manantial. Finalmente, toma$x$ser el centro de masa del sistema y$\eta$Sea la separación entre ambas masas, tal que la fuerza del resorte claramente tiene magnitud$\|\vec{F}_s\|=k|\eta-l|$.

Primero, analizamos el movimiento del centro de masa. Dado que la fuerza constante$\vec{F}$es la única fuerza externa, tenemos

$$(m+M)\ddot{x}=F\implies \ddot{x}=\frac{F}{m+M}$$

Entonces, escribamos las coordenadas$x_1$y$x_2$en términos de$x$y$\eta$. De nuestras definiciones tenemos

$$(m+M)x=mx_1+Mx_2$$ $$\eta=x_2-x_1$$ Fijemos nuestra atención en $x_1$(si haces el mismo procedimiento con $x_2$obtendrá la misma respuesta). Este sistema de ecuaciones se puede invertir para producir $$(m+M)x_1=(m+M)x-M\eta$$ Derivando dos veces obtenemos $$(m+M)\ddot{x}_1=(m+M)\ddot{x}-M\ddot{\eta}=F-M\ddot{\eta}$$ Ahora, enfocando nuestra atención en la masa $m$, tenemos la segunda ley de newton $$m\ddot{x}_1=\frac{m}{m+M}(F-M\ddot{\eta})=k(\eta-l)$$ Resolviendo para $\eta$uno llega a $$\ddot{\eta}+\frac{m+M}{mM}k\eta=\frac{F}{M}+\frac{m+M}{mM}kl$$ Al definir $\omega=\sqrt{k\frac{m+M}{mM}}$, la solución de esta ecuación diferencial es $$\eta(t)=A\cos(\omega t+\phi)+\frac{F}{M\omega^2}+l$$ Es fácil ver eso $$\dot{\eta}(t)=-A\omega\sin(\omega t + \phi)$$ Como el sistema parte del reposo, $$\dot{\eta}(0)=0=-A\omega\sin(\phi)\implies\phi=k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}$$ y $$\eta(0)=l=A\cos(k\pi)+\frac{F}{M\omega^2}+l\implies A=\pm\frac{F}{m\omega^2}$$ Por lo tanto, el máximo y el mínimo son $$\eta_{\text{max}}=\frac{2|F|}{M\omega^2}+l$$ $$\eta_{\text{min}}=l$$ ¡Espero que esto sea útil!