Determinación de la aceleración para cumplir con una reserva de espacio-tiempo-velocidad

Question

Determinación de la aceleración para cumplir con una reserva de espacio-tiempo-velocidad

torántula

Un ejemplo

Se le dice a un tren en una vía de una sola línea que esté en la posición $x_{res}$ , en el momento $t_{res}$ , y estar moviéndose exactamente $v_{res}$ cuando llega a ese punto. Dónde $_{res}$ denota la reserva.

El conductor del tren sabe la hora actual ( $t_{cur}$ ), es la velocidad actual ( $v_{cur}$ ) y su posición actual ( $x_{cur}$ ). Dónde $_{cur}$ denota el valor actual.

Proporcione una ecuación que dé la aceleración que el conductor del tren debe aplicar en $t_{cur}$ , con el fin de estar en camino para cumplir con la reserva.

El tren podría necesitar acelerar más rápido que $v_{res}$ luego disminuya la velocidad. En cambio, podría tener que acelerar constantemente, o incluso mantener exactamente la misma velocidad. Todo depende de la situación.

Estoy buscando determinar la aceleración en función del tiempo, para cumplir con una reserva de espacio-tiempo-velocidad. - Es decir: estar en el lugar $x$ , en el momento $t$ , con velocidad final $v$ .

El dominio del problema puede considerarse unidimensional.

Valores Disponibles

Ubicación actual y final ( $x_1$ & $x_2$ ), de este modo $\Delta x$ .
Hora actual y final ( $t_1$ & $t_2$ ), de este modo $\Delta t$
Velocidad actual y final ( $v_1$ & $v_2$ ), de este modo $\Delta v$

Soy consciente de que es probable que haya curvas de aceleración infinitas que técnicamente resolverían este problema, una solución ideal daría como resultado una curva con las aceleraciones menos extremas.

La respuesta final debería ser una ecuación que dé la aceleración usando los valores disponibles arriba. Le agradecería si pudiera explicar cómo encontró su respuesta y su paciencia con el conocimiento limitado de un laico.

lo que he probado

Estoy familiarizado con las ecuaciones de movimiento bajo aceleración constante, sin embargo, una aceleración variada como esta todavía está un poco por encima de mi cabeza. Publiqué esta pregunta en Reddit y recibí una respuesta, sin embargo, eso también me supera y no puedo resolverlo, aunque lo intenté. Puedes ver esta publicación y mis intentos de resolverla aquí

No soy físico ni matemático, así que disculpe cualquier error o concepto erróneo de mi parte. Estaría realmente agradecido por cualquier ayuda.

Respuestas (1)

Determinación de la aceleración para cumplir con una reserva de espacio-tiempo-velocidad

G. Smith · Answer 1

No puedes satisfacer las cuatro condiciones.

\begin{matrix} (1) & X (t_{1}) = X_{1} \end{matrix}

$x(t_1)=x_1\tag 1$

\begin{matrix} (2) & \dot{X} (t_{1}) = v_{1} \end{matrix}

$\dot{x}(t_1)=v_1\tag 2$

\begin{matrix} (3) & X (t_{2}) = X_{2} \end{matrix}

$x(t_2)=x_2\tag 3$

\begin{matrix} (4) & \dot{X} (t_{2}) = v_{2} \end{matrix}

$\dot{x}(t_2)=v_2\tag 4$

con una aceleración constante. Pero puedes hacerlo con una aceleración que cambia linealmente de la forma

\begin{matrix} (5) & \ddot{X} (t) = A + B (t - t_{1}) . \end{matrix}

$\ddot{x}(t)=A+B(t-t_1).\tag 5$

Integrando (5) y usando la condición (2) para determinar la constante de integración, la velocidad es

\begin{matrix} (6) & \dot{X} (t) = v_{1} + A (t - t_{1}) + \frac{1}{2} B (t - t_{1})^{2} . . \end{matrix}

$\dot{x}(t)=v_1+A(t-t_1)+\frac12B(t-t_1)^2.\tag 6.$

Integrando (6) y usando la condición (1) para determinar la constante de integración, la posición es

\begin{matrix} (7) & X (t) = X_{1} + v_{1} (t - t_{1}) + \frac{1}{2} A (t - t_{1})^{2} + \frac{1}{6} B (t - t_{1})^{3} . \end{matrix}

$x(t)=x_1+v_1(t-t_1)+\frac12A(t-t_1)^2+\frac16B(t-t_1)^3.\tag 7$

Imponer la condición (3) en (7) y la condición (4) en (6) conduce a dos ecuaciones simultáneas para resolver $A$ y $B$ . La solucion es

\begin{matrix} (8) & A = 2 \frac{3 (X_{2} - X_{1}) - (v_{2} + 2 v_{1}) (t_{2} - t_{1})}{(t_{2} - t_{1})^{2}} \end{matrix}

$A=2\frac{3(x_2-x_1)-(v_2+2v_1)(t_2-t_1)}{(t_2-t_1)^2}\tag 8$

y

\begin{matrix} (9) & B = - 6 \frac{2 (X_{2} - X_{1}) - (v_{2} + v_{1}) (t_{2} - t_{1})}{(t_{2} - t_{1})^{3}} . \end{matrix}

$B=-6\frac{2(x_2-x_1)-(v_2+v_1)(t_2-t_1)}{(t_2-t_1)^3}.\tag 9$

¿ De dónde vienen las ecuaciones para A y B ? ¿Son ecuaciones conocidas con una fuente a la que podría hacer referencia en un artículo?
Y ahora que lo pienso, lo mismo ocurre con las ecuaciones finales.
Además, veo que has usado $t$ , $t_1$ y $t_2$ , lo que parece sugerir que hay algún valor de tiempo inicial , sin embargo, los únicos valores disponibles son los tiempos actual y final . Lo mismo ocurre con la velocidad y la posición.
Tiene que haber algo entre lo que llamas el tiempo “actual” y el tiempo final. Considerar $t_1$ ser la hora “actual”, $t_2$ ser el tiempo final, y $t$ ser un tiempo arbitrario entre estos.
He editado para responder para explicar los pasos en detalle. Sin embargo, si no entiendes el cálculo, no tendrá sentido porque tienes que usar la integración para obtener la velocidad de la aceleración y la posición de la velocidad.
Agradezco su continuo esfuerzo. La idea es usar la ecuación de la aceleración para determinar en tiempo real la aceleración a aplicar en el momento actual, para cumplir con la reserva de espacio-tiempo-velocidad. Siendo este el caso, los valores actuales (posición, tiempo y velocidad) están cambiando constantemente, y no hay registro de lo que eran antes. Si entiendo correctamente, ¿su respuesta requiere que se registren los valores iniciales? Mis disculpas si me equivoco en esto.
Lo siento, no puedo entender lo que estás buscando. Esperemos que alguien más proporcione una respuesta más adecuada.
Piénsalo de esta manera. A un vehículo en una pista se le dice que esté en el punto $x2$ en el momento $t2$ mientras viajaba en $v$ EM. Conoce la hora actual, su posición actual en la pista y su velocidad actual. ¿Qué aceleración debe aplicar para poder cumplir con la reserva? Esta ecuación se puede volver a evaluar cada tic para dar la aceleración requerida para ese mismo momento.
Ya te expliqué que no hay aceleración en el momento actual que cumpla tus condiciones. El problema está sobre-restringido . Ya terminé.

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