Estaba leyendo Métodos matemáticos en mecánica clásica de Arnold y no tengo claro qué es exactamente lo que está tratando de lograr al introducir un espacio afín para modelar el conjunto de todas las "posiciones en el universo". Sin duda, es un modelo más intuitivo del mundo que no asume más estructura de la necesaria, pero justo después de presentar la estructura afín, pasa a definir "movimiento" como un mapa fluido. de algún intervalo al espacio vectorial . La velocidad y la aceleración se definen como derivadas de este mapa. Después de hacerlo, no creo que se refiera a la estructura afín en ningún otro lugar del libro y solo habla sobre el mapa. .
Preguntas -
1) Entonces, ¿qué es exactamente el mapa de movimiento? ¿se supone que es? ¿Debe interpretarse como una especie de vector de desplazamiento que evoluciona con el tiempo y nos da el desplazamiento neto de una partícula en particular? Además, ¿es este un elemento del espacio vectorial que actúa sobre el espacio afín para producir traslaciones?
2) ¿Cuál es exactamente la diferencia estructural provocada por tener un espacio afín de posiciones en lugar de un espacio vectorial? ¿Es solo para que asumamos menos estructura o hay alguna motivación genuina para introducirla?
El objetivo de Arnold es modelar el espacio y el espacio-tiempo sin coordenadas. Para lograr esto, identifica lugares y eventos como puntos en espacios afines abstractos. ( respectivamente).
El problema es que, cuando eliminas las coordenadas, se vuelve muy difícil definir muchos conceptos y cantidades dinámicas importantes (por ejemplo, fuerza y aceleración) sin volverse excesivamente abstracto.
Para evitar esto, configura una biyección entre el espacio afín abstracto y un espacio afín concreto (coordinado) . Puede pensar en este último como una cuadrícula numérica colocada sobre la parte superior del primero. Ahora puede definir sus construcciones dinámicas en términos de coordenadas (aprovechando el cálculo, por ejemplo) y definir sus contrapartes abstractas indirectamente.
Para usar su ejemplo, Arnold define un movimiento (de una sola partícula) como un mapa , que obviamente es una definición en el espacio de coordenadas . Sin embargo, si sigues leyendo, verás que describe una línea universal como una curva en un espacio afín que aparece como un movimiento en un espacio de coordenadas .
Por lo tanto, una línea de mundo se define sin coordenadas utilizando el concepto de un movimiento como andamiaje. Esto le da una idea de cómo las definiciones abstractas sin coordenadas se obtienen a menudo al "retirar" las definiciones dadas en espacios de coordenadas canónicas.
Vale la pena entender esto, porque es precisamente cómo proceden las cosas en el tema de la geometría diferencial , donde las variedades sin coordenadas (por ejemplo, que representan el espacio y el espacio-tiempo) reciben todo tipo de estructuras elaboradas trabajando en una imagen de coordenadas y luego tirando devolver el resultado a la variedad (y viceversa).
Si bien no está equivocado al pensar en un movimiento como una sucesión continua de vectores de desplazamiento, la interpretación que esbozo aquí lo preparará mucho más adecuadamente para el estudio de la geometría diferencial, que es el corazón y el alma de prácticamente toda la física.