Velocidad promedio (v¯⃗v¯→\vec{\bar{v}}) Intuición y analogía para aceleración no uniforme

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Así que estaba tratando de encontrar el sentido de la cinemática a través de la intuición después de haber tomado mi primer semestre de física universitaria, y me he topado con un dilema que parece que no puedo resolver.

Específicamente, estoy atascado en el tema de la velocidad promedio. Por lo que entiendo, en cinemática, hay dos definiciones a través de las cuales se puede derivar todo lo demás ($\Delta{t}\neq 0$):

$$\begin{align} \vec{\bar{v}} &= \frac{\Delta{\vec{x}}}{\Delta{t}} \tag{1}\label{1}\\ \vec{\bar{a}} &= \frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}} \tag{2}\label{2} \end{align}$$

Existen, si mi conocimiento no me falla, varios métodos para derivar ecuaciones más allá de este punto. Uno es a través del cálculo; integrando para resolver ecuaciones que describen el desplazamiento en términos de una aceleración constante, por ejemplo.

La otra es a través de la suposición de que, siempre que$\vec{\bar{a}}$es constante (en magnitud y dirección, corríjame si me equivoco), que:

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\vec{v}(t)+\vec{v}_i}{2}\tag{3}\label{3}$$

A través de esto, puede combinar ecuaciones algebraicamente para llegar a las mismas ecuaciones que de otro modo obtendría a través del cálculo.

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Pregunta 1

Sin embargo, eso me hizo pensar: ¿cuál es la intuición detrás de esta ecuación específica de aceleración uniforme?$\eqref{3}$?

Si mi Cal I no me falla, para cualquier intervalo de función dado, el valor promedio es:

$$\bar{f} = \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a} \tag{4}$$

Si aplicamos tal idea a la velocidad promedio (asumiendo que podemos extender la lógica a los vectores), obtenemos lo siguiente:

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t)dt}{\Delta{t}} \tag{5}\label{5}$$ (Nota: no estoy seguro si la velocidad promedio se considera una función del tiempo, si es así, asumo que se denota$\vec{\bar{v}}(t)$. Nuevamente, corríjame si me equivoco, por favor).

De$\eqref{2}$podemos resolver para$\vec{v}(t)$y enchufar$\eqref{5}$(de lo contrario, la integral se reduce a$\eqref{1}$).

Como resultado, obtenemos:

$$\begin{equation}\begin{aligned} \vec{\bar{v}} &= \frac{\int_{t_1}^{t_2} (\vec{v}_i+\vec{\bar{a}}\Delta{t})dt}{\Delta{t}}\\ &= \frac{\vec{v}_i\Delta{t}+\frac{1}{2}\vec{\bar{a}}\Delta{t^2}}{\Delta{t}}\\ &= \vec{v}_i+\frac{1}{2}\vec{\bar{a}}\Delta{t} \end{aligned}\end{equation}\tag{6}$$ Por reemplazo$\vec{\bar{a}}$con $\eqref{2}$, terminamos con $\eqref{3}$, que es exactamente lo que pretendíamos al principio. Pero, ¿por qué funciona esto?

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Pregunta 2

Mi segunda pregunta involucra si existe una ecuación similar para la velocidad promedio más allá de$\eqref{1}$, preferiblemente en términos de$\vec{v}_i$y$\vec{v}(t)$con aceleración no uniforme. Ya sea específicamente en el caso de jerk , definido como

$$\vec{\bar{j}} = \frac{\Delta\vec{{a}}}{\Delta{t}}\tag{7}$$ o, mejor aún, generalizado a cualquier función de velocidad$\vec{v}(t)$!

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Progreso hasta ahora

He pensado en tres posibilidades diferentes para encontrar esa elusiva función de velocidad promedio generalizada, cada hipótesis menos deseable que la anterior. La primera es que tal vez sea de la forma

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\vec{v}(t)+\vec{v}_i}{k}$$ donde k es una constante sin unidades que podría depender de la función de velocidad específica de la partícula u objeto en juego.

La segunda es que es mucho más complicado, probablemente no de la forma antes mencionada y quizás no se pueda expresar sin agregar más variables (como$\vec{a}_i?$) en la mezcla.

La última es que no existe tal función, supongo que tal vez debido a$\vec{v}(t)$no siendo lineal, como$\vec{a}(t)$ya no es constante (cero incluido).

¡La ayuda sería muy apreciada! Además, siéntase libre de corregir todas y cada una de mis anotaciones, ya que es la primera vez que publico y necesito mejorar.