Ángulo de lanzamiento óptimo para un proyectil lanzado desde una altura sobre el suelo [cerrado]

Si dice que el proyectil está ubicado a una altura, entonces no puede decir que 45 grados sea el ángulo de lanzamiento óptimo (sin embargo, esto sería correcto en un plano con la elevación del proyectil$h = 0$unidades). Sin embargo, si el proyectil se lanza a una altura$h$sobre el plano, el ángulo óptimo será igual a una función$f(v_0,h)$.

Puede calcular fácilmente el tiempo que tarda el proyectil en viajar desde$A$a$B$. Por el tiempo tomado de$B$a$C$, piensa en la energía que posee el proyectil en los dos puntos. También recuerda que el$x$componente de la velocidad del proyectil no cambia a lo largo del vuelo. Calcular el rango total en el$x$dirección y recuerda que la mayor distancia recorrida es cuando$\frac{dR}{d\theta}=0$.

Simplifica la ecuación formada y obtendrás el ángulo óptimo como función$f(v_0,h)$.

Para el tiempo tomado de A a C,

componente X de la velocidad ($v_0\cos\theta$) no cambia durante el vuelo.

Ahora$\frac{dR}{d\theta}=0$para rango máximo. La diferenciación implícita es muy útil como se describe aquí .

Intentaré dar una respuesta cualitativa sin necesidad de matemáticas.

Si bien el ángulo de 45° brinda la distancia máxima para la misma altura, debe ajustarse para las diferencias de altura, lo que da como resultado un ángulo óptimo más plano. ¿Por qué?

Sabemos que el proyectil sigue una parábola, lo que significa que en su trayectoria descendente pasará la altura de lanzamiento con el mismo ángulo con el que fue lanzado.

La ruta se puede dividir en dos partes, la parte superior del lanzamiento y la parte inferior del lanzamiento.

Imaginemos un ángulo ligeramente más plano, por ejemplo, 44°. La parte de lanzamiento por encima seguirá haciendo casi la misma distancia que el lanzamiento de 45° (cerca de un punto óptimo, las cosas cambian lentamente), pero la continuación (la parte de lanzamiento por debajo) hará más distancia debido al ángulo más plano.

Un ángulo de más de 45° no puede dar como resultado una distancia total mayor, ya que ambas partes hacen una distancia más corta (la parte superior del lanzamiento porque estamos lejos de su óptimo de 45° y la parte inferior del lanzamiento debido al ángulo descendente más pronunciado). ).

Lo óptimo seguramente será en algún ángulo positivo hacia arriba, ya que el lanzamiento con un componente hacia abajo seguramente será peor (reduce tanto la velocidad horizontal como el tiempo de vuelo en comparación con un lanzamiento horizontal).

Entonces queda la pregunta de dónde es óptimo entre 0° y 45°. Esto solo se puede responder exactamente usando matemáticas, en algún ángulo donde la pérdida en la distancia por encima del lanzamiento ya no se compensa con la ganancia en la distancia por debajo del lanzamiento.

El ángulo para el alcance máximo desde una altura, h, no es de 45 grados. Para encontrarlo comienza con las ecuaciones de los componentes: x =$v_o$cos(θ) t y y = h +$v_o$sen(θ) t – (1/2)g$t^2$= 0. Resuelva la ecuación x para cos(θ) y la ecuación y para sin(θ). Entonces$sin(θ)^2$+$cos(θ)^2$= 1. Esto conduce a una ecuación cuadrática en$t^2$lo que da dos valores positivos para t. Éstos corresponden a los dos ángulos posibles para alcanzar un objetivo a una distancia conocida hacia abajo. A medida que se acerca al rango máximo, los ángulos (y los tiempos) convergen. En este punto, la raíz cuadrada en la cuadrática es igual a cero. Puede establecerlo igual a cero y resolver para$x^2$. Con la raíz cuadrada en cero, la cuadrática da$t^2$. Combínalos en la ecuación x para obtener cos(θ).

Si$h>0$entonces, como han señalado otras respuestas, el tiempo de vuelo$t$es la raíz positiva de una cuadrática, y el rango$R=v_xt$es

dónde$\theta$es el ángulo entre el ángulo de lanzamiento y la vertical. Encontrar el valor de$\theta$que maximiza$R$es dificil pero si$\frac{gh}{v_0^2} << 1$podemos aproximar$R(\theta)$por

y luego

Cuando$0 < \theta < 45^o$tenemos$\frac{dR}{d \theta}>0$y en$\theta = 45^o$tenemos$\frac{dR}{d \theta} \approx 4h > 0$, por lo que para maximizar$R(\theta)$tenemos que hacer$\theta$ mas grande que $45^o$es decir, la trayectoria óptima es menos profunda que cuando$h=0$.

Sé que si el proyectil cae a una altura que no es igual a la altura de lanzamiento, la fórmula que maximiza el alcance cuando el ángulo es de 45 grados ya no es aplicable. Pero, ¿es este un argumento para decir que 45 grados no es el ángulo de lanzamiento óptimo para un objeto lanzado sobre el suelo y aterrizado en el suelo?

El ángulo que proporciona la mayor$R$restos$45^{\circ}$. Pero lanzado en ese ángulo desde un elevado ($y>0$) la posición de lanzamiento en realidad aumenta$R$algo, con respecto al lanzamiento desde$y=0$.

Entonces, si quisiera alcanzar el mismo objetivo desde una posición de lanzamiento elevada, tendría que ajustar el ángulo o la velocidad inicial.

Semimatemáticamente, podemos mostrar que la distancia horizontal recorrida se da de la siguiente manera.

El tiempo pasado en el aire para el caso.$y=0$es:

Y debido a que las velocidades vertical y horizontal son independientes entre sí (invariancia galileana), la distancia recorrida horizontalmente es:

Pero en el caso de que$y>0$Entonces el tiempo$t_1$gastado en el aire es más largo y así: