Si bien no estoy familiarizado con el procesamiento de señales, la pregunta del mapeo 1 a 1 puede ser fácil de responder, suponiendo que su alfabeto de símbolos sea finito.

Supongamos que su alfabeto de símbolos es$A = \{ a_0, a_1, \dots , a_{n-1} \}$. Primero defina un mapeo

Entonces para una secuencia de símbolos

En otras palabras, la secuencia$b$mapas a una base$n$expansión donde el$i'th$elemento de la secuencia es el$(m-i)'th$dígito de la expansión. Como tal, es claramente una biyección.

A continuación, puede biyectar entre la base$n$expansión y la expansión binaria (base 2).

Espero no haber entendido mal tu pregunta.

EDITAR :

Primero, numere su alfabeto de símbolos, digamos$a_1, a_2, ... a_n$. El orden en que los numere no es importante, sin embargo es fundamental que tanto el emisor como el receptor numeren el alfabeto de la misma manera. A continuación, convierta la cadena de símbolos en un valor numérico escrito en base$n$, dónde$n$es el tamaño de su conjunto de posibles símbolos. Tratará cada símbolo en la secuencia como un dígito en un número escrito en base$n$. Una vez que haya convertido su secuencia de símbolos en una base$n$número, tendrá que convertir esta base$n$número en binario (base 2) para su transmisión.

Para ir al revés, comience con una cadena binaria (base 2), conviértala en una base$n$, luego usa los dígitos de la base$n$número para leer la secuencia de símbolos en su mensaje.

Por conveniencia, supongamos que su alfabeto tiene 10 símbolos,$\{ +, -, =, 0, 1, x, y, z, <, > \}$. Entonces podríamos convertir el mensaje$x + 1 = y$como sigue :

El primer símbolo de nuestra secuencia (x) es el sexto símbolo de nuestro alfabeto, por lo que el primer dígito sería 6. El + es el segundo símbolo de la secuencia y el primer símbolo de nuestro alfabeto, por lo que el segundo dígito sería un 1. Continúe para obtener la codificación numérica de 61537. Finalmente, convierta este número en binario para su transmisión. En nuestro ejemplo, sería 1111000001100001.

Por el contrario, si recibe una señal (111100001100001), puede convertirla (decodificarla) en una cadena de símbolos siguiendo el procedimiento anterior a la inversa. Primero convierta el binario a decimal y luego lea el símbolo correspondiente a cada dígito.

Si no está familiarizado con la conversión de números entre diferentes bases, este es un buen lugar para comenzar [wikipedia] ( http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_number ). Buena suerte.

No estoy seguro de qué suposiciones puede hacer, pero como su pregunta es ahora, puedo pensar en los siguientes dos contraejemplos. Siempre considero la función de Heaviside$θ$como una función de simbolización.

• Mapeo uno a uno entre series temporales numéricas y series temporales simbólicas:$\sin(t)$y$2\sin(t)$obviamente se asignan a la misma serie simbólica.
• Preservación de la dimensión:$\sin(t)$tiene dimensión 1 y$\sin(t)·(\sin(αt)+2)$tiene dimensión 2 para$α∈ℝ\backslashℚ$, pero obviamente tienen la misma serie temporal simbólica.