¿Pregunta sobre un límite de integrales gaussianas y cómo se relaciona con la integración de rutas (si es que lo hace)?

Nuestro plan de respuesta es el siguiente. En primer lugar, presentaremos la constante de Planck$\hbar$de modo que el valor particular$\hbar=1$corresponde al problema original. En segundo lugar, mencionamos una conexión con (lo que los físicos suelen llamar) la propiedad de grupo de las integrales de trayectoria de Feynman. En tercer lugar, mostraremos que la fórmula buscada resulta ser la contribución "instantónica" clásica en una expansión asintótica de punto de silla/descenso máximo, que se vuelve válida como$\hbar\to 0$. Actualmente desconocemos si se pueden aplicar métodos de localización semiclásicos para justificar la expansión del punto de silla/descenso más pronunciado, y no intentaremos hacer una justificación aquí.

Ahora pongámonos manos a la obra. Definir puntos finales$x_0\equiv x>0$y$x_{n+1}\equiv t>0$. Comenzamos introduciendo la constante de Planck$\hbar$en el$u_n$función en la ec. (1.9) de arXiv:1102.4729 ,

$$u_n(x,t,\hbar) ~:=~\left[\prod_{j=1}^n 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x_j}{\sqrt{\hbar}}\right] \prod_{i=1}^{n+1}\frac{e^{-\frac{x_{i-1}^2}{2\hbar x_i}}}{\sqrt{2 \pi x_i}}. \tag{1.9$\hbar$}$$ En particular, para$n=0$, tenemos

$$u_{n=0}(x,t,\hbar) ~=~\frac{e^{-\frac{x^2}{2\hbar t}}}{\sqrt{2 \pi t}}.$$

El$u_n$La función disfruta de varias propiedades de escala/homogeneidad,

$$\begin{align} u_n( x,t,\hbar) ~=~&\sqrt{\lambda} u_n(\lambda x,\lambda t,\lambda\hbar) \cr ~=~& \lambda u_n(\lambda x,\lambda^{2^{n+1}} t,\hbar) \cr ~=~& \sqrt{\lambda} u_n( x,\lambda^{2^n} t,\frac{\hbar}{\lambda}), \qquad \lambda~>~0. \end{align} \tag{H}$$

Con la ayuda de la primera propiedad de homogeneidad en la ec. ($H$), podemos deducir inmediatamente la correspondiente$\hbar$generalización de la ec. (3.14) en arXiv:1102.4729,

$$\lim_{n\to \infty}u_n(x,t,\hbar) ~=~\frac{1}{\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{2x}{\hbar}}. \tag{3.14$\hbar$}$$

Entonces, la pregunta es básicamente cómo derivamos, entendemos, motivamos, etc., eq. (3.14$\hbar$) físicamente? Para llegar a una interpretación de la integral de trayectoria, observamos que la$u_n$función tiene (lo que los físicos a menudo llaman) una propiedad de grupo,

$$u_{n+1+m}(x,z,\hbar) ~=~ 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{n}(x,y,\hbar)u_{m}(y,z,\hbar), \tag{G}$$

en estrecha analogía con el propagador de Feynman$K(x_f,t_f;x_i,t_i)$con

$$K(x_3,t_3;x_1,t_1) ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d}x_2 ~ K(x_3,t_3;x_2,t_2) K(x_2,t_2;x_1,t_1).$$

Así que la "suma de historias" de$x$a$z$se puede calcular integrando sobre un punto intermedio$y$. El$n$en el$u_n$función juega el papel de una variable de tiempo discretizada. Como verificación de consistencia, es fácil ver (realizando algunas integrales elementales) que el lado derecho de la ec. (3.14$\hbar$),

$$u_{n=\infty}(x,t,\hbar) ~=~\frac{1}{\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{2x}{\hbar}} \qquad \left(~\to~ \sqrt{2\pi x} \delta(x) \quad \mathrm{for} \quad \hbar ~\to~ 0\right),$$

de hecho resuelve la ecuación de grupo$(G)$en los casos particulares$n,m=0,\infty$,

$$\begin{align} u_{\infty}(x,z,\hbar) ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{\infty}(x,y,\hbar) u_{\infty}(y,z,\hbar) \cr ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{\infty}(x,y,\hbar) u_{0}(y,z,\hbar)\cr ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{0}(x,y,\hbar) u_{\infty}(y,z,\hbar).\end{align}$$

A continuación, introduzca los momentos gaussianos$p_1, \ldots,p_{n+1},$con

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}p_i}{2\pi\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{1}{2\hbar}x_ip_i^2} ~=~ \frac{1}{\sqrt{2 \pi x_i}}, \qquad x_i~>~0.$$

Entonces el$u_n$la función se convierte en

$$u_n(x,t,\hbar) ~=~ \left[\prod_{j=1}^n 2\int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}x_j}{\sqrt{\hbar}}\right]\left[\prod_{i=1}^{n+1}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}p_i}{2\pi\sqrt{\hbar}}\right]e^{-\frac{S}{\hbar}},$$

con acción espacial de fase euclidiana

$$S~:=~\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n+1}\left(\frac{x_{i-1}^2}{x_i}+x_i p_i^2\right).$$

Ahora volvamos a la expansión asintótica del punto silla/descenso más pronunciado. Las ecuaciones clásicas del movimiento son

$$0 ~\approx~ \frac{\partial S}{\partial p_i} ~=~ x_i p_i,$$

$$0 ~\approx~ \frac{\partial S}{\partial x_i} ~=~ \frac{x_i}{x_{i+1}}-\frac{x_{i-1}^2}{2x_i^2} + \frac{p_i^2}{2},$$

donde usamos$\approx$firmar en lugar de$=$signo para enfatizar cuando se han aplicado ecuaciones clásicas de movimiento. La solución clásica es

$$p_i ~\approx~ 0, \qquad q_i ~\approx~ q_{i-1}^2,$$

donde hemos definido$q_i :=\frac{x_i}{2x_{i+1}}$. Entonces$q_i \approx q_{i-1}^2 \approx q_{i-2}^4 \approx \ldots \approx q_0^{2^i}$. Ahora el producto telescópico

$$\prod_{i=0}^n 2q_i ~=~\prod_{i=0}^n\frac{x_i}{x_{i+1}}~=~\frac{x_0}{x_{n+1}}=\frac{x}{t},$$

está fijado por las condiciones de contorno$x$y$t$. Entonces

$$q_0^{2^{n+1}-1}~=~q_0^{\sum_{i=0}^n 2^{i}} ~\approx~\prod_{i=0}^n q_i ~=~\frac{x}{2^{n+1}t},$$

y por lo tanto la única solución clásica es

$$q_i ~\approx~ \left( \frac{x}{2^{n+1}t} \right)^{\frac{2^i}{2^{n+1}-1}} ~\to~ 1 \qquad \mathrm{for} \qquad n ~\to ~\infty.$$

Por lo tanto, clásicamente$x_i \approx 2^{-i}x$para$n=\infty$. El valor clásico de la acción es

$$S_{\mathrm{cl}} ~\approx~ \sum_{i=0}^{n} x_i q_i ~\to~ x\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i} ~=~2x \qquad \mathrm{for} \qquad n ~\to~ \infty,$$

entonces la contribución clásica "instanton"$e^{-\frac{S_{\mathrm{cl}}}{\hbar}}$pasa a ser el lado derecho de la ec. (3.14$\hbar$), hasta un$\sqrt{\hbar}$factor. Esta es nuestra principal observación.

Un tratamiento más completo ahora calcularía el determinante de Van Vleck de un bucle$\det(\partial^2S)$en la expansión asintótica del punto silla/descenso más pronunciado. Aquí sólo haremos un par de observaciones más. la arpillera$\partial^2 S$de la acción es

$$\frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial x_j} ~=~\delta_{i,j}\left(\frac{1}{x_{i+1}}+\frac{x_i^2}{x_{i+1}^3}\right)-\delta_{i+1,j}\frac{x_i}{x_j^2}-\delta_{i-1,j}\frac{x_j}{x_i^2},$$

$$\frac{\partial^2 S}{\partial p_i\partial x_j} ~=~ \frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial p_j} ~=~ \delta_{i,j}p_i\approx 0, \qquad \frac{\partial^2 S}{\partial p_i\partial p_j} ~=~ \delta_{i,j}x_i.$$

Desde que tenemos$n+1$momentos$p_i$, pero sólo$n$posiciones$x_i$, ingenuamente esperaríamos que el determinante de Van Vleck$\det(\partial^2S) \sim x$ser proporcional a$x$en concha Esto significaría un$1/\sqrt{x}$factor en la expansión. Sería interesante ver un cálculo detallado del determinante de Van Vleck$\det(\partial^2S)$.

El uso de integrales funcionales para describir procesos aleatorios es bien conocido. La solución a una ecuación estocástica de tipo:

$$dX_t = b(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t$$ viene dada por el llamado funcional de Onsager-Machlup . La equivalencia de este enfoque con la ecuación habitual de Fokker-Planck se analiza en el libro de Risken sobre FPE y se usa ampliamente en el campo de las finanzas. Integrales de trayectoria de Kleinert en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros también tiene un capítulo dedicado a este tema.