Supongamos que mi sistema tiene partículas, y quiero encontrar una distribución para , el número de partículas en el estado de energía
Lo que sí sé es la probabilidad de Boltzmann, que me dice la probabilidad de que una sola partícula esté en un determinado estado de energía, y se denota mediante . También sé el número esperado de partículas en un sistema, dado por .
Según algunas personas a las que pregunté, la distribución de partículas seguiría una distribución binomial, donde el número de partículas en el estado sería una variable aleatoria. Por lo tanto, estaría dado por:
Usando esto puedo encontrar la probabilidad de cada número de ocupación posible, a través de una distribución binomial.
Físicamente, esto es equivalente a recoger partículas fuera del sistema y contando el número de partículas en , y luego repetir este experimento muchas veces y verificar la frecuencia de cada valor de . Debido a las fluctuaciones, podemos estar seguros de que sigue cambiando cada vez que hago esta prueba. Es básicamente como la distribución de cabezas en un lanzamientos de monedas.
Sin embargo, hay una segunda distribución que me vino a la mente. Sabemos que el sistema puede tener partículas, donde rangos desde a . Entonces, consideramos diferentes sistemas, etiquetados desde a , donde la etiqueta denota el número de partículas en estado de este sistema en una marca de tiempo particular. Ahora lo que hacemos es verificar la probabilidad de que cada uno de estos sistemas sea el sistema original. Dado que estos sistemas tienen un número fijo de cada uno, estamos obteniendo indirectamente la distribución del número de partículas del sistema original.
Entonces, lo que comprobamos es, la probabilidad de cada uno de estos sistemas, para darnos un probabilidad de tomar una partícula al azar y encontrarla en el estado. En cierto sentido, esto es probabilidad de probabilidades.
Como hacemos eso ?
Bueno, sabes que el número esperado de partículas en el estado de energía viene dado por . Entonces, tomamos cada uno de estos sistemas y sacamos partículas con reemplazo, y cuente el número de partículas en ese estado, y repita este experimento muchas veces. Cuando sea fuera de las partículas están en el estado deseado, lo consideramos un éxito. Comprobamos la frecuencia de éxito de cada uno de estos sistemas Esto nos daría una distribución de probabilidad de qué sistema es probable que nos dé una probabilidad de recoger una partícula al azar y encontrarla en un estado particular. Esta distribución estaría dada por:
Esta distribución no está normalizada y se parece mucho a la distribución Binomial. Sin embargo, esto tiene en cuenta que para cada sistema, la probabilidad de que una determinada partícula se encuentre en un determinado estado sería diferente. Además, la analogía física también tiene más sentido en este caso.
Como discutí en mi pregunta anterior, la distribución de Boltzmann es más como un estimador de la verdadera probabilidad de encontrar una partícula en un cierto estado, como lo escribió @Roger Vadim en esta respuesta . Entonces, en lugar de que la distribución de las partículas sea una distribución de Boltzmann perfecta, ¿no debería ser la distribución de diferentes sistemas basada en la probabilidad de obtener una sola partícula en estado en ese sistema coincide con la probabilidad de Boltzmann del mismo.
En otras palabras, ¿no debería ser más precisa la segunda distribución?
He comprobado que para números grandes, las dos distribuciones producen más o menos el mismo resultado, pero quería saber cuál es más precisa.
Contando cuántas veces el sistema es real
value sale a su valor esperado, como lo está haciendo en la segunda parte, está encontrando la distribución para el estimador del parámetro de otra distribución . Aquí es donde todo el asunto de T, F y
Las distribuciones provienen de estadísticas que supuestamente se centran en variables aleatorias gaussianas.
Para la distribución de que realmente está buscando, binomial es correcto . voy a tomar sin pérdida de generalidad y escribirlo como
Discusión del escenario alternativo
Después de dormir, creo que el experimento que describes es un poco más desconcertante que construir un estimador. Primero, cuando veo
esa es claramente la probabilidad de que algo suceda veces. Sin embargo, lo estás interpretando como la probabilidad de que cierta variable sea igual a diciendo que necesita ser normalizado a mano. Esta es una bandera roja. Es común que los argumentos de la física solo nos digan "a qué son proporcionales las probabilidades", pero ideas como la ley de los grandes números son matemáticas, no físicas.
Así que intentaré hacer una analogía con las monedas. En realidad, será una analogía con la fórmula.
porque no se como te pones para aparecer en la forma en que lo hizo. Uno de los copias tiene partículas en estado . No del copias
De todos modos, suponga que compró una moneda en la que sale cara con probabilidad y cruz con probabilidad . Después voltea, es el número esperado de cabezas. Ahora suponga que va a la misma tienda y compra la misma moneda nuevamente. Con tus dos monedas idénticas, pintas sobre la cabeza de una y la cruz de la otra y las metes en un sombrero.
Puede meter la mano en este sombrero y sacar monedas con reemplazo muchas veces y crear una distribución. Pero hay una moneda de cada tipo por lo que esta será la distribución de una moneda justa . Es decir, cada sorteo del sombrero es como un flip 50-50, no un voltereta sesgada. Así que nada de lo que hagas con el sombrero te dará información sobre la probabilidad de que salga cara un cierto número de veces en el problema original.
Basado en el chat, los comentarios y las respuestas en esta pregunta y una relacionada, parece que encontré la fuente principal de mi confusión.
Lo primero que debe recordar aquí es que nuestro sistema es dinámico. Esto significa que en cualquier momento, debido a colisiones y otros fenómenos, la cantidad de partículas que ocupan cualquier nivel de energía va cambiando y, por lo tanto, la energía de este sistema sigue fluctuando. Esto debe tenerse en cuenta.
Antes de que pueda explicar más la confusión, necesito hablar sobre la fuente de esta confusión que proviene de un problema relacionado pero muy diferente .
En el problema anterior, tenía una bolsa con un número fijo de canicas y algunas de ellas eran azules. Usé el muestreo para encontrar la probabilidad aproximada de recoger una bola al azar y encontrar que era azul. Usando esto, quería crear una distribución de probabilidad para la cantidad de canicas azules en la bolsa.
La forma correcta de lidiar con este problema es recordar que el número de canicas azules estaría entre y dónde es el número total de canicas. Entonces, creamos diferentes sistemas etiquetados de a , donde la etiqueta indica el número de canicas azules en el sistema. Usando los métodos discutidos en las respuestas allí, encontramos la distribución requerida. Sin embargo, en resumen, lo que hacemos es encontrar la probabilidad de cada uno de estos sistemas, de ser nuestro sistema original (el más parecido). Eso nos diría indirectamente la probabilidad de tener diferentes números de canicas azules en el sistema original, es decir, nuestra distribución de probabilidad requerida.
Si lo piensa detenidamente, acabamos de crear un conjunto aquí. Hemos reemplazado nuestro sistema con copias idénticas, y trató de averiguar la probabilidad de que nuestro sistema original sea cualquiera de estos.
Intentamos usar esta misma lógica y analogía para el número de partículas en un cierto nivel de energía en nuestro sistema. Sin embargo, hubo algunas fallas importantes que hacen que los dos casos sean similares, pero no idénticos.
Notemos estos defectos primero:
Esto crea un problema. Supongamos que haces un conjunto con estados idénticos, al igual que la caja de mármol. Sin embargo, en el caso del mármol, el sistema original era estático y, por lo tanto, el Los sistemas también eran constantes (distinguibles). En el caso de las partículas, dado que su sistema original es dinámico, su los sistemas también deben ser dinámicos. Si son dinámicos, todos son idénticos entre sí, ya que todos cambian constantemente y no obtendrá ninguna respuesta sobre cuál es más probable y así sucesivamente, porque es posible que no tenga diferentes respuestas para elegir.
Como puedes ver, por esta razón, no puedes usar el razonamiento que usaste en el caso de las canicas. Tal vez si congela todo el sistema en el tiempo, junto con el copias, entonces puede usarlo, pero eso sería inútil en el momento en que 'descongele' este sistema.
En lugar de encontrar una analogía entre las canicas y las partículas, sería mejor comparar estas partículas con dados individuales. La probabilidad de que de un solo dado salga un seis es prácticamente independiente de cuántos de los otro dado idéntico en la habitación, sacó un seis.
Otra cosa a destacar es que, el color de una canica es una propiedad única y fija. Una canica azul no se vuelve verde. Sin embargo, el número en un dado no es fijo. Un dado puede mostrar un número diferente en cada tirada. Nuestras partículas son dinámicas, como estos dados. Entonces, la analogía física de verificar la energía de una sola partícula no sería sacar una canica de una bolsa de canicas y verificar la probabilidad de que sea azul. Sería más como sacar un dado al azar de una bolsa llena de dados y comprobar cuál es la probabilidad de que salga un seis.
Como puede ver, la primera analogía depende de la cantidad de canicas que son azules. Además, recuerda, dado que las canicas tienen un color único, son diferentes entre sí, en cierto sentido son distinguibles. Nuestras partículas son como dados idénticos (dados sesgados, ya que los niveles de energía más bajos son más probables, pero no obstante idénticos).
Por lo tanto, la probabilidad de encontrar una partícula en cierto estado no tiene nada que ver con el número real de partículas en ese estado. Habría importado si las partículas tuvieran una energía fija; en ese caso, la probabilidad de encontrar una partícula en ese estado de energía particular habría dependido del número de partículas en ese estado. Ya que son dinámicos, no importa.
Como hemos logrado demostrar que la probabilidad de que una sola partícula tenga cierta energía es independiente de todas las demás partículas, hallando la probabilidad de que partículas tienen la misma energía, se convierte en un problema directo, relacionado con la distribución binomial. La probabilidad de que fuera de las partículas están en el estado, es básicamente encontrar la probabilidad de que cada uno de los partículas están en ese estado, multiplicado por la probabilidad de que el resto de ellos, no están en ese estado. Además, si las partículas son dinámicas y distinguibles, también hay que multiplicar el número de formas de elegir partículas de . Esto no es más que la distribución binomial que @Connor Behan derivó en una respuesta diferente.
PD: tenga en cuenta que he usado la palabra distinguible en dos sentidos diferentes aquí. En el primer sentido, se pueden distinguir entre sí dos canicas diferentes o dos partículas o dados diferentes. En este sentido, las partículas son distinguibles. Sin embargo, aunque se pueden distinguir dos dados o partículas, tienen propiedades idénticas. De hecho, todos los dados y las partículas tienen propiedades idénticas, todos son dinámicos y no tienen una energía única o algo así. En este sentido, las partículas son idénticas. Sin embargo, en el caso de las canicas, no todas las canicas tienen la misma propiedad. No solo son distinguibles entre sí, sabemos que las canicas azules son diferentes de las canicas verdes y así sucesivamente. Por lo tanto, también son distinguibles en el sentido de sus propiedades. Las partículas son idénticas en este sentido,
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Connor Behan
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