¿Diferencia entre "movimiento aleatorio" y "movimiento browniano"?

El movimiento browniano tiene un significado muy específico: el movimiento de pequeñas partículas suspendidas en un fluido. El movimiento se debe a las colisiones aleatorias entre las moléculas de fluido con las partículas en suspensión. Entonces, el movimiento browniano no se refiere al movimiento térmico de las moléculas, sino que es un efecto de este movimiento molecular en partículas mucho más grandes que una molécula. Sin embargo, las partículas deben ser lo suficientemente pequeñas para que los efectos de las colisiones con muchas moléculas no promedien cero (o valores demasiado pequeños para la materia). Tanto el movimiento molecular como el movimiento browniano pueden llamarse "aleatorios" (o no) dependiendo del significado que asociemos con este concepto de "aleatoriedad". Idealmente, si uno conoce las posiciones y velocidades de todas las moléculas en un momento dado,
Pero si considera el movimiento térmico como un ejemplo de movimiento aleatorio, entonces el movimiento browniano es un ejemplo más específico del término general "movimiento aleatorio".

El movimiento aleatorio es un término genérico que puede usarse para indicar que el movimiento o el comportamiento de un sistema en particular no es determinista, es decir, hay un elemento de azar al pasar de un estado a otro, en oposición a decir, por ejemplo, el clásico oscilador armónico.

Por otro lado, el movimiento browniano se puede considerar como una condición más específica del movimiento aleatorio exhibido por el sistema, a saber, que se describe mediante un proceso estocástico de Wiener , que se hace riguroso mediante la teoría de la probabilidad y el cálculo estocástico.

Una de las características clave es que dada una variable aleatoria dependiente del tiempo$X(t)$, y un conjunto de tiempos$t_1, t_2$y así sucesivamente en el que medimos$x_1, x_2 \dots, x_n$, hay un conjunto de distribuciones de probabilidad conjuntas,

que describen el sistema. En física, tratamos (principalmente) con procesos separables , que implican,

lo que quiere decir que$X(t)$es totalmente independiente de lo que suceda en el pasado o en el futuro. (Para un proceso de Markov, solo el presente determina el futuro). Para relacionar esto con algo con lo que puede estar más familiarizado, si$p$eran independientes de$t$, podría tener ensayos de Bernoulli, como lanzar una moneda al aire, donde las mismas leyes probabilísticas describen el comportamiento en todo momento.

El punto clave es$X(t)$no se puede saber definitivamente en ningún momento$t$, pero al decidir qué tipo de proceso es, o al hacer ciertas suposiciones, podemos hacer declaraciones probabilísticas sobre él, de observables. Por ejemplo, la ecuación de Langevin para una masa en un medio sujeto a ruido es,

dónde$\vec{f}(t)$es el ruido aleatorio, y$V$es un potencial. En el caso de$m = 0$y$V=0$por simplicidad, aunque no podemos escribir de forma determinista$\vec{x}(t)$, se puede demostrar (bajo suposiciones),

es decir, podemos comentar la varianza de posición en función de las funciones de correlación del ruido. Si asumimos una distribución delta para$\langle f_1 \cdot f_2 \rangle$, el ruido es ruido blanco, y$\vec{x}(t)$es lo que llamamos movimiento browniano, con una distancia cuadrática media que va como$\sqrt{t}$.

Esto no significa$\vec{x}(t)$no es aleatorio, simplemente significa que podemos comentar sobre la forma en que las propiedades estadísticas del sistema evolucionan con el tiempo.

Recursos adicionales

Handbook of Stochastic Methods proporciona una introducción amena al cálculo estocástico, con aplicaciones a problemas físicos.

Si desea ver cómo se puede aplicar esto a algo menos 'convencional', The Theory of Polymer Dynamics de Doi y Edwards es un texto excelente y completo en el que algunos de estos métodos, entre otros, se utilizan para estudiar la dinámica. de polímeros. (No se necesita ningún conocimiento de química o biología).

Sé que el "movimiento aleatorio" es un movimiento impredecible no determinista de una partícula.

El movimiento aleatorio se refiere al movimiento de cualquier objeto y usa la definición de la palabra aleatorio tal como se usa en el lenguaje común, que es impredecible y aparentemente no determinista. Aunque debo enfatizar que el movimiento verdaderamente aleatorio, o cualquier cosa aleatoria en la naturaleza, es casi siempre pseudoaleatorio, en el sentido de que generalmente tiene un patrón en algún sentido, simplemente está oculto bajo diferentes niveles de complejidad.

Solo puedo pensar en un fenómeno que puede producir la versión más precisa de la verdadera aleatoriedad. Tome un trozo de cualquier material radiactivo, con una vida media corta adecuada. Organice un mecanismo para proporcionar movimiento en cualquier dirección, por ejemplo, un carro de juguete. Entonces, cada vez que hay una desintegración radiactiva, activaría el coche de juguete en un patrón impredecible.

Pero parece que el "movimiento browniano" tiene algún tipo de determinismo, ya que podemos predecir el patrón creado por el camino tomado por la partícula a largo plazo.

El movimiento browniano es específicamente el movimiento aparente de átomos y moléculas, a escala microscópica en un medio fluido. Nuevamente, podría/debería clasificarse como pseudoaleatorio, ya que a menudo hay causas y efectos obvios involucrados. Por ejemplo, si las moléculas de agua se calientan, aumentarán su movimiento de acuerdo con varias leyes físicas bien conocidas, como la ley de probabilidad de Maxwell relacionada con las velocidades.

Entonces, el movimiento browniano puede, en general, considerarse menos aleatorio que otras formas de aleatoriedad, sería necesario comparar caso por caso para establecer qué movimiento está más influenciado por la aleatoriedad.