Diferencia entre temperamento igual y entonación justa

Cada nota tiene un tono , determinado por la frecuencia fundamental de la onda sonora que la produce. Cuando tienes dos notas diferentes, tienes dos tonos diferentes, causados ​​por dos frecuencias diferentes. La distancia entre esos tonos se llama intervalo y corresponde a la relación de las frecuencias de la nota. Por ejemplo, si una nota está una octava por encima de una segunda nota, sus frecuencias tendrán una relación de 2:1.

En la entonación justa , que históricamente era común en la música occidental al menos en el período barroco, los intervalos se determinan forzando a las notas a tener frecuencias que son pequeñas proporciones de números enteros entre sí. Por ejemplo, una quinta perfecta es 3:2, una cuarta perfecta es 4:3, una tercera mayor es 5:4 y una tercera menor es 6:5. En la música occidental histórica, generalmente se detenían allí (no se usa el intervalo 7: 6), y todos los demás intervalos son combinaciones de estos intervalos. El beneficio de este sistema es que, debido a que las frecuencias están numéricamente relacionadas entre sí, suenan muy consonantes o puras para el oído. La desventaja es que esos intervalos puros solo existen en una clave; fuera de eso, los intervalos comienzan a romperse.

Por ejemplo , si empiezas en A♭ y subes una tercera mayor, llegas a C (con una proporción de 5:4 = 1,25). Si subes otra tercera mayor, llegas a E (5:4 x 5:4 = 25:16 = 1,5625). Si luego sube una tercera mayor más, llega a G♯ (5:4 x 5:4 x 5:4 = 125:64 = 1,953125). Como puede ver, esto no llega al siguiente A♭ más alto (que debe tener una proporción de 2:1, por definición). El problema matemático básico es que no importa cuántas veces repitas cualquiera de estas proporciones (aparte de la octava), nunca volverás a una potencia de dos, lo que significa que nunca volverás al tono inicial (en cualquier octava). ). Lo que además significa que debe tener un número infinito de notas en su escala, o debe agregar un intervalo impuro en algún lugar para volver a donde comenzó.

Si desea tocar en muchas tonalidades diferentes y mantener estos intervalos puros, una posible solución es utilizar instrumentos que puedan variar libremente su tono, como violines o voces, para que siempre pueda ajustarse al intervalo justo correcto. Los cantantes suelen hacerlo inconscientemente, incluso en la música occidental, simplemente encontrando lo que suena bien.

Sin embargo, muchos instrumentos no pueden hacer esto; especialmente teclados e instrumentos con trastes, los cuales deben tener una escala predefinida. Una posibilidad para ellos es comenzar a agregar un montón de notas adicionales: hacer que A♭ y G♯ sean dos notas diferentes, por ejemplo. Sin embargo, podría haber una cantidad infinita de notas de este tipo, por lo que las cosas pueden volverse bastante locas rápidamente, como este teclado que tiene 24 notas por octava:

Este enfoque no se ha seguido mucho en la música occidental.

En cambio, la solución que ha ideado la música occidental se llama 12-Tone Equal Temperament (12-TET). En lugar de forzar las proporciones de frecuencia a proporciones de números enteros que suenan puras, se compromete a dividir cada octava en doce intervalos de igual tamaño y los suma para obtener intervalos más grandes. La relación de frecuencia requerida para este pequeño intervalo (que resulta ser un medio paso) es la raíz 12 de 2 (2 ^1/12 = 1.059463...), ya que multiplicarlo por sí mismo 12 veces da como resultado 2 (una octava) . De hecho, el término "proporción" es un poco inapropiado, ya que en realidad es un número irracional.

Si combinas 7 de estos pequeños intervalos (2 ^7/12 = 1,4983...) obtienes una aproximación cercana a una quinta perfecta pura (3:2 = 1,50). Si combina cuatro de ellos (2 ^4/12 = 1.2599...) obtiene una aproximación menos cercana a un tercio mayor puro (5:4 = 1.250) que todavía es algo útil. Pero el punto clave es que al desafinar todos los intervalos por igual, ninguna clave es peor que la otra. Tienes que sacrificar la pureza de los intervalos, pero es un efecto relativamente sutil para el oído inexperto.

Aquí hay un video que demuestra ambos tipos de intervalos:

TLDR: la entonación justa se refiere al uso de proporciones matemáticamente simples entre un par de tonos; los intervalos con afinación justa son objetivamente más consonantes que los intervalos sin afinación justa. Sin embargo, es matemáticamente imposible construir una escala de alturas fijas en la que todos los intervalos posibles estén correctamente afinados, y algunos incluso pueden sonar bastante mal. 12 TET es una forma de compromiso al afinar una escala; desafina por igual todos los intervalos, de modo que ninguno de ellos es perfectamente justo ni está muy lejos de serlo.

Una respuesta simple: uno no es mejor que el otro. Sirven para diferentes propósitos según las diferentes tradiciones musicales.

La entonación justa es afinación pura según los armónicos matemáticos puros producidos por los instrumentos musicales. Cuando un instrumento está afinado a la entonación justa, es más o menos capaz de tocar solo en una tecla y usar acordes y armonías limitadas. Esto se adapta perfectamente a la música india (que se basa en melodías elaboradas, zumbidos e intervalos abiertos, pero no tiene lugar para progresiones de acordes y armonías occidentales) y música de muchas otras culturas.

El temperamento igual de 12 tonos es un compromiso desarrollado en la música occidental que no se generalizó hasta hace unos 150 años. En el temperamento igual de 12 tonos, los intervalos entre las notas se cambian ligeramente para hacerlos menos puros. Esto permite que un instrumento tan afinado toque en todas las claves occidentales y todos los modos, pero con todos los intervalos y acordes ligeramente desafinados en diversos grados. Sin embargo, estos compromisos se consideran aceptables para los músicos y oyentes occidentales. Esto hace posible que un instrumento toque música occidental que se basa en acordes y armonías occidentales complejos y que puede modularse a diferentes tonos y modos occidentales en cualquier momento.

La música clásica india sonaría mal y no sería auténtica si la tocara en instrumentos afinados con un temperamento igual de 12 tonos (como la guitarra occidental o el piano). Algunos músicos y compositores han llegado a compromisos para combinar instrumentos indios tradicionales con instrumentos occidentales (afinados a un temperamento igual de 12 tonos), pero sospecho que estas composiciones pierden parte del carácter que hace que la música suene tradicionalmente india.

Etimología, matemáticas y acústica

Estos dos términos pueden significar cosas diferentes dependiendo de con quién hables, especialmente porque no se discuten tan a fondo en las enseñanzas de teoría musical. Naturalmente, esto hace que la terminología sea más vaga y menos consensuada. Sin embargo, probablemente ya tengas un buen sentido de ellos. En un nivel básico, la entonación justa es cuando un intervalo armónico particular es ideal para el oído humano.

Para algunas personas, estos serían los miembros de una orquesta ajustando su entonación para que no haya latidos en el acorde. Eso podría llamarse justo. Más comúnmente, es la relación de intervalos por razones de números enteros. Para obtener más información sobre esto, debe comprender algunos aspectos básicos de la acústica.

Una onda sinusoidal es el tipo de sonido más básico que puede tener. Las flautas están bastante cerca de una onda sinusoidal pura y lo más probable es que las hayas escuchado producidas electrónicamente. Cuando dos ondas sinusoidales interactúan, pueden hacerlo de manera constructiva o destructiva. En la siguiente imagen, hay tres ondas. La primera es una onda sinusoidal que representa nuestra raíz y la segunda es una onda sinusoidal que representa nuestra quinta. La tercera es su interferencia:

Si se reprodujera la tercera ola, escucharía ambos tonos y serían perfectamente justos. Ahora presta atención a los ciclos. La primera ola tiene dos ciclos en el mismo período que la segunda ola tiene tres. En ese momento, están perfectamente en fase entre sí y ambos están al comienzo de un nuevo ciclo. Entonces se dice que estas ondas tienen una proporción de 2:3. Esta es una quinta perfecta. Mientras permanezcan justos, sus ciclos se alinearán en un intervalo constante. Este es un efecto generalmente agradable. Desafortunadamente, tener toda nuestra música configurada de esta manera es mucho más difícil de lo que cabría esperar.

Historia

Se habla comúnmente de Pitágoras en comunidades preocupadas solo por la entonación y la microtonalidad y, a menudo, se le atribuyen descubrimientos como dividir una cuerda vibrante por la mitad para formar una octava. Independientemente de si esto es cierto o no, Pitágoras y sus seguidores estaban muy interesados ​​en la música y creían que su relación con los números era divina. Intentó apilar quintas una encima de la otra para crear escalas que reflejaran estas creencias, pero se encontró con un problema. La relación de frecuencia de una octava es 1:2, por lo que una frecuencia duplicada es una octava. Así que cualquier octava de nuestra raíz debe ser la raíz multiplicada por una potencia de 2. Los quintos son potencias de 3. Consideró esto geométricamente con pentagramas, pero pronto llegó a una desafortunada conclusión. No hay forma de que una potencia de 2 sea igual a una potencia de 3. Un círculo de quintas nunca se cerrará en una octava. Hay mucha más información sobre las afinaciones pitagóricas, pero por ahora, avancemos.

La afinación musical evolucionó y muchos intentaron conciliar este problema del círculo de quintas. Me gustaría señalar que un círculo de quintas ciertamente no es la única forma de lograr una entonación justa. De todos modos, la gente estaba muy preocupada. Si dejaste ese espacio entre la última quinta y la siguiente octava, no te encontraste con muchos problemas en tu clave fundamental. De hecho, esta es una forma de derivar una escala pentatónica mayor. Sin embargo, cambiar a otras teclas podría ponerse feo rápidamente. La afinación que ha triunfado en las tradiciones de la música occidental moderna es el temperamento igual.

Más Matemáticas

Si aplanas la quinta que estás usando en tu círculo de quintas, el círculo se cerrará. La quinta que usamos como generador es solo un pequeño bemol de una quinta perfecta, nos da bastantes consonancias para trabajar y cierra después de 12 quintas. Esto se llama templar el quinto, ergo el nombre. Con nuestro quinto, crea un temperamento igual. Ahora, escuchamos frecuencias logarítmicamente, lo que significa que la diferencia en Hz entre dos intervalos será progresivamente mayor a medida que avanza en octavas. La diferencia entre A4 y A5 es de 440 Hz, mientras que la diferencia entre A5 y A6 es el doble a 880 Hz. Entonces, para dividir las octavas en intervalos de sonido iguales, usamos potencias de fracciones. Esto es esencial al igual que sacar la raíz de un cuadrado, pero me gusta más esta notación.

Para una octava dividida en m partes iguales, un intervalo de n pasos será de 2 ^n/m . Una tercera menor en 12 tet tiene 3 pasos (semitonos). Entonces ese intervalo sería 2 ^3/12 . Lo bueno de esto es que puedes transponer una melodía a cualquier tecla y sus intervalos tendrán las mismas cualidades. También facilita la construcción de instrumentos con trastes. Y realmente, la mayoría de la gente no puede notar la diferencia porque 12 tet está bastante cerca de la entonación.

Si quieres tonos realmente claros como una campana, sin confusión, solo quieres entonación. Escuchamos música en intervalos. La entonación justa son intervalos pitagóricos, expresados ​​como proporciones. Lo que llamamos el intervalo de quinta perfecta, 7 semitonos, es una relación de frecuencia de 3:2. Si lo toca junto con su nota raíz, coincidirá en perfecta armonía clara. Sin embargo, las proporciones pitagóricas se vuelven más complejas, expresadas como X ^ m / Y ^ n, donde podría terminar con 128/27 o incluso (80 * 7) / (3 * 5) como una relación de tono en alguna escala.

El problema con estas proporciones teóricamente limpias en un piano dividido en 12 semitonos por octava es que subir 7 semitonos de C a G puede darte una relación exacta de 3:2, pero subir 7 semitonos de D a A lo hará. no. - Esencialmente, sus composiciones se limitan a tocar en la clave de C en un piano en la clave de C si desea tocar con su conjunto de intervalos de frecuencia de escala limpia.

Bach, con su tratado 'El clave bien temperado' resolvió esto manipulando uniformemente el intervalo entre los 12 semitonos. Cualquier salto de 7 semitonos a partir de cualquier tecla producirá el mismo intervalo de frecuencia. Desafortunadamente, este arreglo es un compromiso, y ese intervalo ya no es un 3:2 limpio y exacto.

La ventaja de haber hecho esto es que cualquier canción puede transponerse instantáneamente de una tecla a otra sin cambiar su estilo de intervalo, y que los pianos ya no tienen que construirse con una tecla principal en mente. Todas las canciones en clave de F# o Db tienen los mismos intervalos fangosos entre ellas ahora.

Los sintetizadores recientes han traído de vuelta la posibilidad de la entonación justa, donde todo el teclado, o solo las notas individuales de los acordes, se reasignan a la clave o raíz del momento para sonar claro.

El temperamento específicamente igual proporciona una proporción de 2^(1/12):1 para cada semitono. Después de 12 multiplicaciones de semitonos terminas con una proporción de 2:1, una octava, la única proporción pura en temperamento igual.

Hay más allá de eso, con afinaciones estiradas y demás. La entonación justa es posible en un instrumento de cuerda sin trastes. Con los trastes, puede obtener solo intervalos entre cuerdas, pero está atascado con el mismo temperamento entre trastes. La entonación justa requiere afinar su instrumento para una clave específica. Con el temperamento igual estándar, puede tocar más abajo en el mástil en otra clave y no terminar con diferentes intervalos de calidad de sonido entre notas.

La música de sitar se trata en gran medida del color brillante producido con todos los drones más que de los saltos entre notas, por lo que es más importante tener solo la entonación. Además, no hay nada fuera de lugar pasar una hora afinando un raga. Eso no funcionaría tocar rockabilly en un pub.

Cada uno tiene su lugar. Es posible que puedas tocar un hermoso rock de shoegazing con entonación justa, pero solo si encuentras una banda dispuesta a invertir mucho tiempo y equipo para hacerlo.

Las proporciones pitagóricas son un mundo de estudio en sí mismas, y probablemente una gran distracción para adquirir habilidades genéricas útiles de composición/interpretación en el mundo occidental.

Un par de correcciones. Pitágoras escribió alrededor de 3:2 quintos y construyó escalas a partir de estos. No inventó la idea, como no inventó lo de los triángulos. Estudió en Egipto, donde las mismas teorías están escritas en documentos de papiro de 2000 años antes de Pitágoras, y muy probablemente son anteriores a los documentos que tenemos.

Bach no inventó el temperamento igual y no escribió los 48 preludios y fugas para el temperamento igual. Los escribió para el Buen Temperamento.

Bueno, los temperamentos son aquellos en los que a) el ciclo de quintas se encuentra b) los bemoles y los sostenidos coinciden de manera que solo hay 12 tonos por octava c) todas las teclas se pueden tocar d) algunas teclas son más puras que otras e) cada tecla tiene su propio conjunto de intervalos y carácter

Hay muchas maneras de distribuir la coma de manera que se cumplan estas condiciones, las más famosas son las de Andreas Werckmeister, y la más reciente, que causó cierta emoción, es la de Lehman, que se basó en garabatos escritos en los manuscritos de Bach.

Los temperamentos son vitales cuando se considera música polifónica y armonía. La música que es monofónica puede adaptarse mucho mejor usando la afinación pura de intervalos. La música india nunca debe usar ET ni ningún otro temperamento.

Intentaré simplificar esto tanto como sea posible. Las respuestas aquí no responden a las preguntas fundamentales, dan saltos cuánticos en las suposiciones, son extremadamente largas, hacen juicios subjetivos burdos o simplemente están completamente equivocadas.

Así que un pequeño manual de física. Todos los instrumentos musicales (incluida su voz) son una especie de onda estacionaria (por ejemplo, una onda en una cuerda para guitarras o aire para flautas, etc.). Todas las ondas estacionarias oscilan a ciertas frecuencias llamadas sobretonos (este no es un intercambio de pila de física, por lo que puede sumergirse en qué sobretonos hay en https://en.wikipedia.org/wiki/Overtone ). Sin embargo, lo que es importante saber aquí es que existe una frecuencia fundamental f para una onda estacionaria dada y los sobretonos son múltiplos de números enteros de esta frecuencia fundamental).

La entonación justa es un esquema de entonación en el que las notas se organizan en fracciones de estos sobretonos. Por ejemplo, la octava es la relación entre el primer sobretono y el fundamental (2f/f = 2). De manera similar, el quinto perfecto es la relación entre el segundo sobretono y el primer sobretono (es decir, 3f/2f = 1,5). Luego, las relaciones se multiplican por la fundamental y se clasifican en orden ascendente.

La razón por la que esto se hace es para encajar como puntos de "consonancia" en una determinada cantidad de tiempo. Por ejemplo, si la fundamental es de 10 Hz, la quinta perfecta es de 15 Hz y cada 3 segundos, las formas de onda interfieren constructivamente. En contraste con eso para la octava de 20hz, interfiere constructivamente cada 2 segundos. Por eso encontramos la octava más "consonante" que la quinta justa. (Tenga en cuenta que esta es una interpretación subjetiva, pero anecdóticamente encuentro que las personas correlacionan la consonancia con la frecuencia de interferencia constructiva de formas de onda en ondas estacionarias).

Ahora bien, si bien este es el arreglo "consonante" de notas más óptimo para una fundamental dada, hay un gran problema. Esto corrige efectivamente lo fundamental. Por ejemplo, si la fundamental es la nota A4 (440 Hz), entonces puede usar B como tónica (si lo hace, las proporciones entre las notas ya no seguirán las proporciones de números enteros). Puede trazar solo una escala entonada con las frecuencias e intentar cambiar la tónica de la fundamental para darse cuenta de que este es realmente el caso.

A medida que la música occidental se volvió más complicada, surgió la necesidad de

1. Reproduzca música en varias teclas sin cambiar de instrumento, por ejemplo, la forma sonata allegro en piano.

2. Toca acordes fuera de la armonización básica de una escala.

Un sistema simplemente entonado simplemente no funcionó en ninguno de los escenarios. Entonces, los constructores de instrumentos intentaron corregir las entonaciones ad hoc ajustando los valores de frecuencia para ciertas notas.

La más elegante de las transformaciones adhoc dio como resultado esta fórmula

f(n) / f(n - 1) = 2^(1/12)

donde f(k) es la frecuencia de la k-ésima nota. Esta es la entonación temperada igual.

Este compromiso hizo que las proporciones se acercaran lo más posible a fracciones de entonación justa y al mismo tiempo mantuvo la escala tónica invariable (por ejemplo, la quinta perfecta de igual temperamento tiene la proporción a la tónica 2 ^ 7/12 = 1.4983... que es casi lo mismo que 1.5).

Inmediatamente resolvió los problemas de la música occidental en ese momento y estaba extremadamente cerca de una escala de entonación justa para tener el mismo grado de consonancia.

PD

1. No existe literatura revisada por pares que yo sepa que las pruebas A/B equivalgan y simplemente entonen piezas de música idénticas en tamaños de población a gran escala. Por lo tanto, no existe ninguna prueba de que sea "no auténtico" en ningún sentido tangible.

2. Hay una gran proliferación de instrumentos de temperamento igual en ICM. Un ejemplo notable es el armonio. Su popularidad sugiere que la entonación no es el requisito fundamental de un sistema musical.