Temperamento igual como una pila de intervalos justos

Recientemente se me ocurrió un descubrimiento interesante sobre cómo obtener tonos igualmente templados usando una pila de solo intervalos de 3/2 y 5/4. Dado que son parte de la mayoría de las cuerdas armónicas, la tríada mayor debe captarse con mucha precisión.

El núcleo de mi teoría es usar la pila de 7 quintas perfectas (3/2) y 1 tercera mayor (5/4) para obtener un solo tono igualmente templado.

(3/2)^7 * 5/4 * 1/16 = 1.3348388671875

La proporción debe dividirse por 16 (o 2 ^ 4) porque el tono que estoy buscando subió 4 octavas.

En este ejemplo el resultado es un cuarto perfecto. La precisión matemática es hasta el quinto dígito después del punto decimal. El error es 0.00128 centavos. Repetir la misma pila 11 veces da un error final de 11 * 0,00128 = 0,01408 centavos.

Escribí un artículo sobre este descubrimiento, pero muchos músicos afirman que esto no es posible en términos de acústica porque ocurren muchos más eventos, por ejemplo, falta de armonía y estiramiento de octava. Debido a la imperfección de los instrumentos, esto sigue siendo solo teórico.

https://nearequaltemperament.com/

Aunque es posible que esto nunca se logre en la práctica, creo que las matemáticas detrás de esta teoría son excepcionales. Muchas raíces de 2 podrían expresarse mediante pequeñas fracciones de los 3 primeros números primos (2, 3 y 5). Todo, desde 2^(1/12) hasta 2^(11/12) podría calcularse de manera muy precisa al apilar la expresión anterior 11 veces. Invertir las proporciones también es legítimo.

¿Es posible afinar un piano usando este método de apilar 7 P5 y 1 M3? Espero una mejor precisión hasta 246 veces, pero ¿cuáles serían los resultados reales?

Hasta ahora, el mejor procedimiento que puedo ofrecer para la afinación es este:

https://nearequaltemperament.com/pila-inversa/

¿Es lo suficientemente eficiente? ¿Va a acumular errores o está libre de errores?

Otro procedimiento aproximado que lleva el proceso de sintonización al máximo es:

https://nearequaltemperament.com/small-scale/

Dado que la pila contiene dos veces menos pasos pero proporciones más grandes, ¿hay alguna posibilidad de hacerlo sin acumular errores?

¿Hay una pregunta aquí? En cualquier caso, a pesar de que está dentro del quinto decimal de un verdadero cuarto de temperamento igual, es un poco diferente. Si usa este intervalo en una escala cromática de 12 tonos, los intervalos resultantes no serán iguales. Y el hecho de que llegaste a este intervalo apilando solo intervalos no cambia el hecho de que es algo diferente de solo un cuarto de 4/3. Y supongamos que comienzas en F y terminas en B-bemol (bueno, A sostenido). Si usa esas siete notas blancas apiladas para su escala, todavía tendrá una afinación pitagórica allí con sus 81:64 tercios, no 5:4.
Voy a votar para cerrar esta pregunta porque no es una pregunta.
He votado para reabrir esta pregunta porque ahora contiene una pregunta.
Creo que la pregunta genera una buena discusión; sin embargo, las asignaciones del sistema no están claras (para mí). Leí la página enlazada. No veo un procedimiento para usar tal aproximación. El procedimiento para el temperamento igual (como me lo dio un afinador de pianos) es afinar octavas (desde algún comienzo) exactamente; luego afine los cuartos 2 tiempos sostenidos y los quintos un tiempo bemol; las otras notas están hechas de estos. Puede usar 89/84 como proporción (ttw) en lugar de 18/17 (Vincenzio Galilei) para aproximarse al temperamento igual.
Aclare: su procedimiento es comenzar con C, afinar 7 quintas hacia arriba y una tercera mayor hacia arriba, y en algún momento del proceso bajar 4 octavas para afinar la nota F. Luego, repitiendo el procedimiento desde F, afinar Bb, y así sucesivamente hasta que las 12 notas estén afinadas?
La página web principal explica solo la concepción y las matemáticas. Los procedimientos, 3 de ellos, se encuentran en artículos complementarios. Hasta ahora, el mejor proceso que puedo ofrecer se llama Fast Inverse Stack nearequaltemperament.com/inverse-stack . Forward Stack es para fines educativos/de prueba. Small Scale Stack es una idea aproximada para reducir los pasos aún más, el límite absoluto.
Tenga en cuenta que, matemáticamente hablando, esto no puede estar libre de errores ya que 2 ^ (1/12) es un irracional: se puede estimar pero no calcular con precisión infinita usando fracciones (de ahí el nombre irracional).
@Tom "irracional" no significa "imposible"; por ejemplo, puede crear un segmento de línea con una longitud de exactamente √2 creando un cuadrado unitario y usando su diagonal para definir su segmento de línea. El hecho de que no puedas representarlo como la suma de una serie finita de racionales no significa que no pueda existir.
Vinkelman: para afinar de C a F, usas G, D, A, E, B, F♯ y C♯ intermedios. Luego, para pasar de F a B♭, tienes que volver a afinar C. ¿Eso no altera tu temperamento? Ok, puedes usar la C superior y volver a afinarla más tarde, pero eventualmente tendrás que volver a usar las notas que ya configuraste, ¿no es así?
@phoog Nunca dije que era imposible o que no existe, dije que "no se puede calcular con precisión infinita usando fracciones ". Por lo tanto, usando fracción, el cálculo de este número irracional no puede estar libre de errores.
@Tom, creo que quieres decir un número finito de fracciones. Un número contablemente infinito de fracciones sumadas puede ser exactamente igual a un número irracional. Eso es básicamente lo que es una expansión decimal infinita. En cualquier caso, para escenarios del mundo real, la precisión de que se puede hacer cualquier cosa en el mundo real está limitada por la física mucho antes que los límites matemáticos. En otras palabras, no podemos sintonizarnos con precisión con un número racional mejor que con uno irracional.
@Tom Ah, sí. Eso es cierto. Pero el error inherente en el sistema contemplado parece ser tan pequeño que probablemente sea insignificante en comparación con la precisión relativamente baja de los afinadores de pianos humanos.
@ToddWilcox ¡Sí, debería haber puesto finito!
@phoog Solo estaba siendo quisquilloso;)
Tenga en cuenta que en 12-EDO, P5 = 7 semitonos y M3 = 4 semitonos, por lo que 7*P5 + M3 = 53 semitonos. Entonces parece que OP ha redescubierto la aproximación P5 = 31/53 octava desde otra perspectiva.

Respuestas (1)

El problema no son las matemáticas. El problema es la eficiencia del algoritmo de sintonización (o la falta de eficiencia, según sea el caso).

Dado que el algoritmo aumenta monótonamente (hasta el punto de corrección de octava), empecemos por afinar el tono más bajo, A0, que aceptaremos como dado.

Dado que nuestro objetivo inicialmente es afinar los 12 tonos cromáticos con la mayor precisión posible, podemos pasar por alto las correcciones de octava por ahora. Esto no afectará las matemáticas, ya que la multiplicación es conmutativa. Podemos hacer todas las quintas y terceras primero, y ocuparnos de las octavas después.

Por lo tanto, para afinar cada uno de los cuartos con mayor precisión (sin tener en cuenta la octava) se requieren 8 operaciones: 7 quintos y 1 tercio.

Por lo tanto, afinar cada uno de los 12 tonos cromáticos con la mayor precisión requiere un mínimo de 8 * 12 = 96 operaciones. (Y, dado que afinar cada cuarta asciende cuatro octavas, necesitaríamos un piano con 12 * 4 = 36 octavas). Limitando nuestro piano a 7 octavas totales, y habiendo afinado el equivalente a una de ellas, ahora necesitamos 12 * adicionales. 6 = afinaciones de 72 octavas.

Por lo tanto, se requiere un total de 168 operaciones que involucran 32 octavas de trabajo.

Además, dado que acortar nuestro teclado a 7 octavas de trabajo reales solo requiere cambiar el orden de las operaciones (hacer las correcciones de octava según sea necesario), todavía necesitamos un mínimo de 168 operaciones en total.

En otras palabras, en un teclado de siete octavas (7 * 12 = 84 teclas), cada tecla debe afinarse dos veces, en promedio, para lograr el resultado ideal.

En mi mejor escenario, solo necesitas 2 octavas para trabajar. Eche un vistazo a los artículos complementarios, es decir, Fast Inverse Stack nearequaltemperament.com/inverse-stack . Explica todo el proceso de manera eficiente trabajando solo en 2 octavas, C3-C4, las que podemos escuchar con mucha precisión.
@Vinkelman Si esa es la pregunta que desea responder, póngala en su publicación.
@Vinkelman Mirando la "pila inversa rápida", veo que se necesitan 99 pasos para afinar una sola octava. Eso deja 6 octavas por afinar, lo que requiere otros 6*12 = 72 pasos, para un total de 171 pasos. Menos eficiente que el procedimiento descrito anteriormente.
@Vinkelman Debo reiterar que no veo ningún problema con las matemáticas (es decir, la precisión de la afinación), solo la eficiencia en comparación con la práctica estándar.
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