Ecuación de Langevin de partículas brownianas sin masa y FDT

Dada la ecuación de Langevin de una partícula browniana sin masa:

$$\gamma \dot{x}=\eta,$$

dónde$\gamma$es el coeficiente de fricción y$\eta$el ruido ($\langle\eta \rangle =0$y$\langle\eta(t)\eta(s)\rangle=2k_BT\gamma\delta(t-s)$), quiero encontrar la correlación$C(t,s)=\langle x(t)x(s)\rangle$y la función de respuesta$G(t,s)=\langle \frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)} \rangle$.

Encuentro que, desde$x(t)=\int_0^tv(s)ds$($x_0=0$por simplicidad),

$$C(t,s)=\frac{1}{\gamma^2}\int_0^tdu\int_0^sdv\langle\eta(u)\eta(v)\rangle=\frac{1}{\gamma}\int_0^s\int_0^sdudv2k_BT\delta(u-v)=\frac{2k_BT}{\gamma}s,$$

donde consideré$t>s$.

También encuentro, de la ecuación de Langevin,

$$\frac{\delta}{\delta\eta(s)}\gamma\frac{\partial x(t)}{\partial t}=\frac{\delta\eta(t)}{\delta\eta(s)}=\delta(t-s),$$

entonces

$$\int_{s-\epsilon}^{s+\epsilon}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\delta x(t)}{\delta\eta(s)}dt=\int_{s-\epsilon}^{s+\epsilon}\frac{1}{\gamma}\delta(t-s)=\frac{1}{\gamma}$$

y

$$\frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)}\Bigg|_{t\rightarrow s^+}=\frac{1}{\gamma}\;\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;\;\frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)}\Bigg|_{t\rightarrow s^-}=0\;\;\text{(by causality)}.$$

Por lo tanto, en la discontinuidad elijo la mitad del valor para positivo$s$:$\frac{1}{2\gamma}$.

Entonces

$$G(t,s)=\langle\frac{1}{2\gamma}\rangle=\frac{1}{2\gamma}.$$

Ahora quiero verificar el teorema de disipación de fluctuación, que en este caso creo que dice

$$\frac{\partial}{\partial s} C(t,s)=k_BTG(t,s).$$

Evidentemente, el problema es que$\frac{\partial}{\partial s} C(t,s)=\frac{2k_BT}{\gamma}$, mientras$k_BTG(t,s)=\frac{k_BT}{2\gamma}$.

¿Estoy haciendo algo mal? ¿No es raro que$C(t,s)$no depende de$t$? ¿No debería satisfacerse el teorema de disipación de fluctuación?