Soy un estudiante de matemáticas con nula intuición física. En mi curso, aprendimos que el movimiento browniano se puede usar para construir las soluciones de ciertas PDE, incluidas la ecuación de Laplace y la ecuación del calor.
Para la ecuación de Laplace, para encontrar la solución en un dominio acotado con condiciones de contorno dadas en , puede iniciar un movimiento browniano en y tome la expectativa sobre la distribución de salida (es decir, el valor de los datos del límite en el punto en que el BM golpea por primera vez ).
Para la ecuación de calor y PDE similar, puede usar la fórmula de Feynman-Kac.
Ambas ecuaciones tienen interpretaciones físicas, como la ecuación para un estado estacionario y la ecuación para el calor. Además, puede pensar en el movimiento browniano como difusión. A la luz de esto (y del hecho de que Feynman era físico...) parece que debería haber algunas razones físicas y heurísticas por las que funcionan estos métodos de solución. Las pruebas que aprendí no son particularmente esclarecedoras.
¿Qué es esta intuición física para estas fórmulas de solución?
Esta es una pregunta difícil de responder, porque la "intuición" es subjetiva.
Sin embargo, si piensa en la definición de movimiento browniano (y sus implicaciones) y, por ejemplo, en la ecuación de Laplace, debería poder ver una correspondencia general.
Para el movimiento browniano, el estado en solo depende del estado en el momento . De esto sabes que la varianza ( momento) es cero.
Pero eso también es exactamente lo que establece la Ecuación de Laplace (para sistemas discretos).
De hecho, esta correspondencia es un ejemplo específico de una clase más grande de procesos estocásticos (proceso de Weiner) que se pueden utilizar para resolver una variedad de PDE (cálculo de Ito).
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