Ecuación de Langevin - Ecuación diferencial estocástica. ¿Cuáles son las sutilezas?

$R(t)$es una función del tiempo que representa una complicada dependencia del tiempo de las fuerzas debidas a otras moléculas sobre la molécula estudiada.

Dado que solo se asume la función de correlación, no existe una función única$R(t)$ficticio; aunque no todas, muchas funciones serían apropiadas. Puede generar muchos de ellos en la computadora utilizando la descomposición de Cholesky de la matriz de correlación o métodos de transformada discreta de Fourier (más rápido).

La solución exacta de su ecuación se puede escribir como

$$x(t) = x(0) + \frac{m}{6 \pi a \nu} \dot{x}(0) - \frac{m}{6 \pi a \nu} \dot{x}(0) \, \text{e}^{-\frac{6\pi a\nu}{m}t} + \frac{1}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} F(\tau_2) \, .$$

$x(0)$y$\dot{x}(0)$son las condiciones iniciales. Luego, lo que quiera calcular, puede escribirlo como una expresión que depende de$F(t)$y tome su promedio sobre las fluctuaciones de$F(t)$.

Por ejemplo

$$\begin{align*} \langle x(t) \rangle = & \langle x(0) \rangle + \frac{m}{6 \pi a \nu} \langle \dot{x}(0) \rangle- \frac{m}{6 \pi a \nu} \langle \dot{x}(0) \rangle \, \text{e}^{-\frac{6\pi a\nu}{m}t} \\ & + \frac{1}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} \langle F(\tau_2) \rangle \, .\end{align*}$$

Si tu partícula comienza en reposo y en el origen,

$$\langle x(0) \rangle = 0 \, \qquad \langle \dot{x}(0) \rangle = 0 \, ,$$

y si experimenta una fuerza constante,

$$\langle F(t) \rangle = F \, ,$$

entonces encuentras

$$\begin{align*}\langle x(t) \rangle & = \frac{F}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} \\ & = \frac{F}{m} \frac{m}{6 \pi a \mu} \left[ t + \frac{m}{6 \pi a \nu} \left( \text{e}^{-\frac{6 \pi a \nu}{m}t}-1\right) \right] \, .\end{align*}$$

Ves que puedes elegir las estadísticas de$F(t)$libremente. Entonces si conoces los momentos de$F(t)$, puede calcular los momentos de$x(t)$. Se trata de calcular integrales. Por lo general, uno elige estadísticas gaussianas con

$$\langle F(t) \rangle = 0 \, , \qquad \langle F(t_1) F(t_2) \rangle = D \, \delta(t_1-t_2) \, .$$

Si insiste en resolver este problema numéricamente, necesita discretizar el tiempo

$$t \in \left[0,\infty\right[ \rightarrow t \in \left\{t_i\right\}_{i = 1,..,N} \, .$$

Entonces puedes probar$F(t)$según tu distribución de probabilidad favorita

$$P\left[F(t_1),F(t_2),..,F(t_N)\right] \, .$$

Para cada muestra obtienes una función discretizada,$F(t_i)$y puede cambiar a derivadas en diferencias finitas (por ejemplo) para resolver su ecuación diferencial. Luego promedias al final.

Resolver esto numéricamente es muy parecido a los métodos de Runge-Kutta excepto que$R(t)$no está representado por una función habitual, pero suele ser un número generado por generadores pseudoaleatorios proporcionados por su idioma. Puede utilizar, por ejemplo, el método de punto medio de Heun. Suponga que está en el estado$x_0,v_0$en el momento$t_0$y quieres encontrar tu estado$x_1, v_1$en el momento$t_1$. Primero encuentra una aproximación de primer orden:

$$\tilde{r} = r_0 + \Delta t v_0$$ $$\tilde{v} = v_0 - \frac{\Delta t}{m}( \xi v + \nabla U(r_0)) +R(t_0)$$ dónde $U$es la energía potencial de su sistema entonces $-\nabla U$es la fuerza debida a las interacciones internas y $\xi$es el coeficiente de fricción. Ahora usa esta aproximación para encontrar su próximo paso real como

$${r}_1 = r_0 + \Delta t \frac{1}{2}(v_0+\tilde{v})$$ $${v}_1 = v_0 - \frac{1}{2} \frac{\Delta t}{m}( \xi (v_0 +\tilde{v}) + (\nabla U(r_0)+\nabla U(\tilde{r}))) +R(t_0).$$ Esto es preciso hasta el segundo orden en el tiempo, creo. También los hay de primer orden como Euler-Maruyana. Como puede ver, no es muy diferente de los integradores deterministas habituales.