¿Heurística detrás de la función delta de Dirac en la ecuación maestra para la probabilidad?

Así es como llegaría a alguna intuición para ello. Pensaría en la tasa de "flujo de probabilidad" en una región integrando la ecuación sobre una región en el espacio. Por ahora, supongamos que no se produce ninguna difusión, ya que eso es más complicado (aunque directamente factible y comprensible). Entonces

$$\int_a^b dx\frac{\partial p(x,t|x_0)}{\partial t}=\int_a^bdx\left(-rp(x,t|x_0)+r\delta(x-x_0)\right),$$ que podemos escribir como $$\frac{\partial}{\partial t}\int_a^b dx~p(x,t|x_0) = -r\int_a^bdx~p(x,t|x_0)+r\int_a^bdx~\delta(x-x_0),$$ que podemos escribir además como $$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = -rP(a\leq x\leq b,t|x_0)+r\int_a^bdx~\delta(x-x_0),$$ dónde $P(a\leq x\leq b,t|x_0)$es la probabilidad de que haya una partícula entre $a$y $b$en el momento $t$dado que comenzó en $x_0$.

Ahora si$x_0$no está contenido en el intervalo$[a,b]$, entonces esto se convierte

$$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = -rP(a\leq x\leq b,t|x_0),$$ lo que simplemente dice que la probabilidad de que la partícula esté en el intervalo decae exponencialmente con el tiempo, que es exactamente su proceso de reinicio, representado por el decaimiento exponencial de estar en un punto particular que no sea $x_0$.

Por otro lado, si$x_0$ está contenido en el intervalo, entonces la ecuación se convierte en

$$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = r(1-P(a\leq x\leq b,t|x_0)).$$ Hay dos componentes en el flujo de probabilidad: está el que teníamos antes, que dice que estamos "perdiendo probabilidad" porque hay un proceso exponencial del que saltar $x$, pero estamos ganando probabilidad porque las partículas están saltando a $x_0$.

Si consideramos un intervalo centrado sobre$x_0$, entonces

$$\frac{\partial}{\partial t}P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0) = r(1-P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0)),$$ y si nos afinamos $x_0$tomando $\epsilon$sea ​​pequeño, entonces esto viene dado aproximadamente por $$\frac{\partial}{\partial t}P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0) \approx r,$$ que simplemente establece que la velocidad a la que las partículas se reinician es exactamente $r$.