¿Diferencia entre las ecuaciones de difusión y calor?

Ambos se resuelven mediante Separación de Variables .

Supongamos que estamos buscando una función de la forma$u(x,t)$que satisface:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$

y cumple algunas condiciones de contorno.

Suponga que la función es el producto de dos funciones:$X(x)$y$T(t)$:

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

Insertar en el PDE original:

$$X(x)T'(t)=\alpha T(t)X''(x)$$ Divide ambos lados por $X(x)T(t)$, reorganizar e introducir un factor de separación $-\lambda^2$: $$\frac{1}{\alpha}\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda^2$$ Ahora tenemos dos ODE: $$\frac{X''}{X}=-\lambda^2$$ Y: $$T'+\alpha \lambda^2T=0$$

Para$X(x)$obtenemos:

$$X(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)$$

Esto se resolverá encontrando los valores propios de$\lambda$, utilizando las condiciones de contorno ( ejemplo ).

Con los valores propios de$\lambda$la segunda ODE para$T(t)$También se puede resolver fácilmente:

$$T(t)=C_1e^{-\alpha \lambda^2t}$$

Una tercera condición de frontera para el estado inicial $u(x,0)$también será necesario, para ponerlo todo junto.

Puede encontrar la derivación completa aquí (que escribí hace un tiempo), aplicada a un 1D ($x$) problema de difusión.

Si las soluciones de la ecuación del calor y la ecuación de difusión son las mismas (o al menos similares en forma, salvo las constantes del material) dependerá de las condiciones iniciales y de contorno.

Las condiciones de contorno que utilicé en el ejemplo vinculado producen valores propios para$\lambda$sin problemas particulares.

$$\frac{\partial u}{\partial x}=0\:\text{at } x=0, x=L$$

Una buena discusión de varios tipos de condiciones de contorno y las consecuencias para la ecuación de calor se puede encontrar aquí .

Otro conjunto de condiciones de contorno, como se sugiere en los comentarios, podría ser:

$$\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)_{x=l}=0$$ $$u(0,t)=C$$

Esto corresponde a una varilla calentada a temperatura constante.$C$en un extremo y aislado en el otro extremo.

Primero hacemos una transformación de temperatura definiendo:

$$u=u_{real}-C$$

Eso entonces significa que el segundo BC se vuelve homogéneo, siempre deseable:

$$u(0,t)=0$$

Al final de nuestro trabajo, simplemente encontraremos:

$$u_{real}(x,t)=u(x,t)+C$$

Con el segundo BC:$u(0,t)=0$:

$$X(0)T(t)=0$$

Asumir$T(t)\neq 0$, entonces:

$$X(0)=0$$

$$A\sin(\lambda 0)+B\cos(\lambda 0)=0$$

$$\implies B=0$$ Y:

$$X(x)=A\sin(\lambda x)$$

Con el primer BC,$u_x(l)=0$:

$$X'(l)T(t)=0$$

Asumir$T(t)\neq 0$:

$$A\cos(\lambda l)=0$$

Asumiendo$A\neq 0$, entonces:

$$\lambda l=\frac{n\pi}{2}$$

Entonces nuestros valores propios se convierten en:

$$\lambda_n=\frac{n\pi}{2l}$$

Para$n=1,2,3,...$

Las funciones$X_n(x)$son:

$$X_n(x)=A_n\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$$

Entonces tenemos:

$$u_n(x,t)=A_ne^{-\Big(\frac{n\pi}{2l}\Big)^2\alpha t}\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$$

Y usando el principio de superposición:

$$u(x,t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\Big(\frac{n\pi}{2l}\Big)^2\alpha t}\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$$

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En cuanto a la necesidad de una condición inicial$u(x,0)$, debería ser bastante evidente que si buscamos encontrar la evolución temporal de la distribución de la temperatura o la concentración, debemos saber en qué momento estaba esa distribución$t=0$. Esto es muy parecido a querer saber dónde está un automóvil conduciendo a gran velocidad.$v(t)$será en el momento$t$: necesitamos saber dónde estaba$t=0$, de lo contrario, la pregunta no puede tener una respuesta definitiva.

En nuestro problema, la condición inicial$u(x,0)=f(x)$se utilizará para determinar los coeficientes$A_n$. En$t=0$todos los factores exponenciales desaparecen y obtenemos:

$$u(x,0)=f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$$

Los coeficientes están determinados por Fourier, a partir de:

$$A_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)dx$$

Recuerda que al final de todo esto:

$$u_{real}(x,t)=u(x,t)+C=C+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\Big(\frac{n\pi}{2l}\Big)^2\alpha t}\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$$

Tu observación es buena y correcta: son iguales. Ambos son difusiones; uno difunde material y el otro difunde calor.

El límite que mencionó también existe para la transferencia de calor cuando aplica una temperatura fija como condiciones de contorno; la temperatura no puede ser mayor que su temperatura límite.

Para la difusión, no se puede aplicar una concentración infinitamente alta de una especie. Entonces, el límite no se debe a la ecuación sino al valor límite.

Las similitudes entre los dos procesos fueron reconocidas por nuestros antepasados. Es por eso que a veces vemos números de Schmidt y números de Prandtl, con los cuales, conoces un proceso, puedes obtener el otro sin resolver las ecuaciones diferenciales.