Ecuación de calor: núcleo de calor como t→0t→0t\to0

Considere el flujo de calor en un cable 1D infinito. La temperatura T(x,t) obedece a la ecuación de difusión,

∂ T ∂ t = D ∂ 2 T ∂ X 2
con condición inicial T ( X , 0 ) = d ( X ) .

El núcleo de calor viene dado por:

T [ X , t ] = 1 4 π D t Exp ⁡ ( − X 2 4 D t )

Me pidieron que verificara que el núcleo de calor es una solución. Es fácil demostrar que esto satisface la ecuación del calor. Sin embargo, para comprobar la condición inicial en t = 0 , debo tomar el límite como t → 0 (Se dispara al infinito por lo que parece). ¿Alguien podría darme una pista sobre cómo hacer esto?

la disminución exponencial debería ser mucho más rápida que la raíz cuadrada inversa que tiende a infinito, por lo que no creo que su suposición de divergencia sea correcta. Y T ( X , t ) = d ( X ) para t → 0 , así que no entiendo tu comentario @lemon
¡Efectivamente tienes razón! Converge a DiracDelta[x] como t->0, aunque parece que diverge. Mi pregunta es cómo demostraré que el límite converge a DiracDelta. Moretti había dado una prueba completa a continuación :)

Respuestas (3)

Es fácil. Observa eso

T [ X , t ] = F ( X / s ) s
dónde s = t y F ( X ) = T [ X , 1 ] . Desde
∫ R F ( X ) d X = 1
también tenemos
∫ R F ( X / s ) s d X = 1
simplemente por medio de un cambio trivial de variables, definiendo z = X / s dónde s > 0 . Ahora toma una función continua acotada gramo : R → C , con el cambio de variables antes mencionado tenemos
∫ R F ( X / s ) s gramo ( X ) d X = ∫ R F ( X / s ) s gramo ( s X / s ) s d X / s = ∫ R F ( z ) gramo ( s z ) d z .
Por lo tanto
límite t → 0 + ∫ R T [ X , t ] gramo ( X ) d X = límite s → 0 + ∫ R F ( z ) gramo ( s z ) d z = ∫ R F ( z ) gramo ( 0 ) d z = gramo ( 0 ) ∫ R F ( z ) d z = gramo ( 0 ) 1 = gramo ( 0 ) .
En otras palabras
(1) límite t → 0 + ∫ R T [ X , t ] gramo ( X ) = gramo ( 0 ) .
El único pasaje crucial es
límite s → 0 + ∫ R F ( z ) gramo ( s z ) d z = ∫ R límite s → 0 + F ( z ) gramo ( s z ) d z
Una condición bastante leve que garantiza el paso es que gramo está acotado como ya se requiere (como consecuencia del teorema de convergencia dominada de Lebesgue ).
Recalco que (1) (donde gramo es una función suave soportada de forma compacta y obtuvimos el resultado con hipótesis mucho más débiles) es una de las posibles formas de afirmar rigurosamente que
T [ X , 0 + ] = d ( X ) .
El núcleo de calor se utiliza para construir la solución de la ecuación de calor. gramo = gramo ( X , t ) fuera de la condición inicial gramo ( X ) :
gramo ( X , t ) = ∫ R T [ X − y , t ] gramo ( y ) d y
satisface
∂ gramo ∂ t = D ∂ 2 gramo ∂ X 2
para t > 0 con condición inicial
gramo ( X , 0 ) = gramo ( X ) .
La demostración es inmediata a partir de (1).

¡Muchas gracias por su ayuda! Me ocuparé de esto mañana a primera hora :)
Así que transformé el núcleo de calor a una versión periódica para que ahora modele una circunferencia. Hice x -> x+n, y n se evalúa sobre ZIE T(x,t) -> T(x+n, t) y esto se puede reducir a ∑ Exp(-Dt(2πn)^2) * Exp(2πinx) usando la fórmula de Poisson (sumada sobre Z), llamaré a esta nueva ecuación S(x, t).
Si ahora impongo un nuevo valor inicial: g(x) = ∑dn Exp(2πinx) Y quiero reescribir S(x, t) usando esta nueva condición inicial. ¿Me dijeron que esto se puede hacer usando el método de convolución/Greens? Así que hice lo siguiente: ∑ ∫dy. { [Exp(-Dt(2πn)^2) * Exp(2πin (xy) )] * [dn Exp(2πiny)] } donde la integral se evalúa con la condición de contorno, en este caso es solo [-0.5, 0.5] ya que f(x+n) tiene periodo T=1; y la sumatoria es sobre Z. Pero no estoy seguro si podría hacer la convolución de lo que está dentro de las sumatorias, y dejando la sumatoria fuera integral.

Otra forma de llegar a la respuesta de Valter Moretti utilizando una noción algo obsoleta (pero totalmente rigurosa) de funciones generalizadas es simplemente presenciar que:

∫ − ∞ ∞ T ( X , t ) d t = 1

es decir T es una función gaussiana normalizada de X y por lo tanto que podemos pensar en la clase de equivalencia de secuencias prototipadas por la secuencia T ( X , 1 ) , T ( X , 1 2 ) , T ( X , 1 3 ) , ⋯ como la función generalizada d ( X ) en la forma definida en MJ Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions" . Aquí, concebimos una función generalizada no principalmente como un miembro del dual algebraico del espacio de Schwartz, sino más bien como una clase de equivalencia de secuencias de funciones, donde la relación de equivalencia es F = { F norte ( X ) } norte = 0 ∞ ∼ gramo = { gramo norte ( X ) } norte = 0 ∞ si y si límite norte → ∞ ⟨ F norte , h ⟩ = ⟨ gramo norte , h ⟩ ∀ h ∈ S dónde S es el espacio de Schwartz. Entonces tenemos, por la definición de Lighthill de d , eso T ( X , 0 + ) = d ( X ) y sigue el resto de la respuesta de Valter.

Ahora, admito que esto puede parecer una respuesta un poco tonta, porque esencialmente todo lo que estoy haciendo es decir en fantasía "es cierto porque esa es una posible definición de delta de Dirac", pero recuerda un enfoque de la introducción al noción de funciones generalizadas (el enfoque de Lighthill/Temple) que todavía se usa a veces en las exposiciones introductorias de la idea. Cuando se discute este enfoque, el núcleo de calor a menudo se destaca explícitamente como el "prototipo" de Lighthill para el d clase de equivalencia. A veces encuentro útil pensar en funciones generalizadas de esta manera para ver ciertos resultados. Así que respondí, porque su pregunta evocó buenos recuerdos de mi primera comprensión de la noción rigurosa de una función generalizada a través del enfoque de Lighthill.

¡Muchas gracias por tu respuesta! Intentaré trabajar en esto :)

Tome la integral de T con respecto a x desde - infinito hasta + infinito y demuestre que es igual a 1 en todo momento.

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