¿Cuál es el modelo mínimo discreto de propagación de ondas?

No estoy exactamente seguro de lo que está buscando, pero así es como pienso en esto a un nivel discreto (esto sigue el artículo de Wikipedia sobre la ecuación de onda).

Considere una línea de resortes cada uno de masa$m$y longitud$h$, con constante de resorte$k$. La distancia de un resorte, ubicado en$x$, se desplaza del equilibrio se denota por$y(x)$.

La fuerza del resorte en el lugar$x+h$es

$$F = m \frac{d^2 y(x+h)}{dt^2}.$$

A partir de la ley de Hooke, el balance de masa en este resorte viene dado por

$$F = F^{x+2h}-F^{x}$$ donde el superíndice significa la fuerza ejercida por todos los resortes en ese lado del resorte bajo consideración.

Próximo,

$$F = F^{x+2h}-F^{x}=k([y(x+2h)-y(x+h)]-[y(x+h)-y(x)]).$$ Finalmente, tomamos el número de resortes como $N$, siendo la masa total $M=Nm$, siendo la constante de resorte total $K=k/N$y la longitud total se define como $L=Nh$.

Por lo tanto, tenemos

$$\frac{d^2 y(x+h)}{dt^2}=\frac{KL^2}{M}\frac{ y(x+2h)-2y(x+h)-y(x)}{h^2}.$$

Tomando los límites$h \to 0, N\to \infty$y definiendo$c^2 =KL^2/M$, tenemos la ecuación de onda

$$y_{tt}-c^2 y_{xx}=0.$$

La plantilla de diferencia finita hacia adelante de segundo orden viene dada por

$$f''(t) = \frac{f(t+2\Delta t)-2f(t+\Delta t) + f(t)}{\Delta t^{2}}$$ Defina las reglas de actualización como $$P(x,t + \Delta t) = pP(x-\Delta x,t) + qP(x+\Delta x,t)$$ $$P(x,t+2\Delta t) = p\left[pP(x-2\Delta x,t) + qP(x,t)\right] + q\left[pP(x,t) + qP(x+2\Delta x,t) \right]$$ Usando la plantilla de diferencias finitas, Taylor expandiendo $P(x \pm \Delta x,t)$y recopilando términos encontramos $$\begin{align*} P(x,t+2\Delta t) - 2P(x,t + \Delta t) + P(x,t) = & \left(p+q\right)\left(p +q -1\right)P(x,t) + \\ & 2\left(-p^2 + q^2 + p -q \right)\Delta x \partial_{x}P(x,t) + \\ & \left(2p^2 + 2q^2 - p -q\right)\Delta x^{2}\partial_{xx}P(x,t) \end{align*}$$ Usando $p+q=1$y dividiendo con $\Delta t^{2}$encontramos la ecuacion $$\partial_{tt}P(x,t) = 4\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2} \frac{\Delta x^{2}}{\Delta t^{2}}\partial_{xx} P(x,t)$$ Entonces, la misma regla de actualización que da difusión (ver, por ejemplo, Coeficiente de difusión para caminata aleatoria asimétrica (sesgada) ) da la ecuación de onda. Aparentemente todo es cuestión de cómo tomar el límite de $\Delta x \rightarrow 0$y $\Delta t \rightarrow 0$.