Energía libre en Allen-Cahn PDE

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Energía libre en Allen-Cahn PDE

energía
Física
difusión
sistemas-complejos
sistemas no lineales
ecuaciones diferenciales

usuario39756

Soy matemático y estoy tomando un curso de física matemática. En la parte de ecuaciones de reacción-difusión, hay algo que no entiendo. Se ha definido la ecuación de Allen-Cahn como

{tu}_{t} = {tu}_{X X} + tu - {tu}^{3} .

$u_t=u_{xx}+u-u^3.$ Entonces el profesor escribió la ecuación como

{tu}_{t} = {tu}_{X X} - W^{'} (tu),

$u_t=u_{xx}-W'(u),$ dónde

W (tu) = 1 / 4 - {tu}^{2} / 2 + {tu}^{4} / 4.

$W(u)=1/4-u^2/2+u^4/4.$ La energía libre se define como

H [tu] = \int_{Ω} (\frac{1}{2} {tu}_{X}^{2} + W (tu)) d X .

$H[u]=\int_\Omega \left(\frac12 u_x^2+W(u)\right)\,\mathrm{d}x.$ No entiendo qué trata de modelar esta energía libre. Leí en Wikipedia que la parte

1 / 2 \int_{Ω} u_{x}^{2} d x

$1/2\int_\Omega u_x^2\,\mathrm{d}x$ se llama energía de Dirichlet , pero no puedo encontrar ninguna interpretación física de esto. ¿Podría proporcionar una explicación sencilla de

H [u]

$H[u]$ para un matemático teórico?

AccidentalFourierTransformar

H

$H$ se minimiza cuando

u

$u$ satisface la ecuación AC. Por lo tanto, mide hasta qué punto

u

$u$ es de la solución a la PDE. El primer término penaliza la derivada, y el segundo el valor de

u

$u$ sí mismo. Los físicos dirían "energía cinética" y "energía potencial", aunque no estoy seguro de cuán útiles son estos términos para usted. ¿Es esto lo que estás buscando? ¿Puede aclarar cómo espera exactamente que se vean las respuestas? ¿Quizás está pidiendo una situación explícita de la "vida real" de los modelos AC?

usuario39756

@AccidentalFourierTransform Gracias por tu comentario. calculé

\frac{d}{d t} H [u] = - \int_{Ω} u_{t}^{2} d x

$\frac{d}{dt}H[u]=-\int_\Omega u_t^2\,dx$ , cuando

u

$u$ satisface la ecuación AC. También calculé la primera variación de

H [u] (t)

$H[u](t)$ para cada

t

$t$ . En ambos casos, obtuve equilibrios si

u_{x x} - W^{'} (u) = 0

$u_{xx}-W'(u)=0$ . a que te refieres con minimizar

H

$H$ ? Además, la energía cinética aquí tiene algo que ver con

1 / 2 m v^{2}

$1/2\,mv^2$ ? ¿Cuál es la masa y la velocidad en la energía de Dirichlet? Aprendí que el gradiente negativo del potencial es la fuerza. ¿Es este concepto aplicable aquí?

AccidentalFourierTransformar

Lo siento, leí mal el funcional.

H

$H$ . Mi comentario anterior es mayormente incorrecto.

Respuestas (1)

Energía libre en Allen-Cahn PDE

$H$ se minimiza cuando $u$ satisface la ecuación AC. Por lo tanto, mide hasta qué punto $u$ es de la solución a la PDE. El primer término penaliza la derivada, y el segundo el valor de $u$ sí mismo. Los físicos dirían "energía cinética" y "energía potencial", aunque no estoy seguro de cuán útiles son estos términos para usted. ¿Es esto lo que estás buscando? ¿Puede aclarar cómo espera exactamente que se vean las respuestas? ¿Quizás está pidiendo una situación explícita de la "vida real" de los modelos AC?
@AccidentalFourierTransform Gracias por tu comentario. calculé $\frac{d}{dt}H[u]=-\int_\Omega u_t^2\,dx$ , cuando $u$ satisface la ecuación AC. También calculé la primera variación de $H[u](t)$ para cada $t$ . En ambos casos, obtuve equilibrios si $u_{xx}-W'(u)=0$ . a que te refieres con minimizar $H$ ? Además, la energía cinética aquí tiene algo que ver con $1/2\,mv^2$ ? ¿Cuál es la masa y la velocidad en la energía de Dirichlet? Aprendí que el gradiente negativo del potencial es la fuerza. ¿Es este concepto aplicable aquí?
Lo siento, leí mal el funcional. $H$ . Mi comentario anterior es mayormente incorrecto.

Thibaut Demaerel · Answer 1

Thibaut Demaerel

$H$ es como un potencial y el sistema siempre "rodará" a valores más pequeños de $H$ (a diferencia de la mecánica hamiltoniana, pero mucho más como en los " flujos de gradiente "), es decir $H$ es una función de Lyapunov de la dinámica de Allen-Cahn: decrece en el tiempo a menos que se alcance una condición estacionaria. En este caso, la evolución temporal intentará suavizar las faltas de homogeneidad (es decir, disminuir $(\partial_x u)^2$ ) y habrá una atracción hacia los valores $u=\pm 1$ (dado que esos son los mínimos de $W$ ). Dependiendo de las condiciones iniciales, un mínimo de $H$ puede o no ser alcanzado (si los datos iniciales son, por ejemplo, $u(t=0,x\geq0)=1=-u(t=0,x<0)$ , entonces la solución resultante no puede alcanzar un mínimo de $H$ .

Una energía libre típicamente no es simplemente una función de Lyapunov. Lo entendemos como una especie de entropía de Boltzmann (digamos que hay una dinámica microscópica subyacente con una propiedad de equilibrio detallada local que se reduce a Allen-Cahn para densidades macroscópicas): la energía libre cuenta el número de microestados que están de acuerdo con el macroscópico observado. perfil de densidad

usuario39756

Gracias por su respuesta. Tengo una pregunta. Como dije en un comentario anterior, el equilibrio se obtiene si

0 = u_{x x} - W^{'} (u) = u_{x x} + u - u^{3}

$0=u_{xx}-W'(u)=u_{xx}+u-u^3$ . Podemos ver esto como un sistema autónomo de ODE

\dot{X} = Y

$\dot{X}=Y$ ,

\dot{Y} = X^{3} - X

$\dot{Y}=X^3-X$ , y trazar su dinámica en un plano con ejes

X = u

$X=u$ y

Y = u_{x}

$Y=u_x$ . Dejar

\tilde{H} (X, Y) = Y^{2} / 2 + W (X)

$\tilde{H}(X,Y)=Y^2/2+W(X)$ sea la función dentro de la integral de

H

$H$ . Como

X_{0} = \pm 1

$X_0=\pm1$ es un minimo de

W

$W$ , entonces

(\pm 1, 0)

$(\pm 1,0)$ es un punto fijo estable (la atracción que mencionaste hacia

\pm 1

$\pm1$ ), considerando la función de Lyapunov

V = \tilde{H} - \tilde{H} (\pm 1, 0)

$V=\tilde{H}-\tilde{H}(\pm 1,0)$ . Mi pregunta es...

usuario39756

... por qué

H

$H$ se llama función de Lyapunov, cuando en realidad

\tilde{H}

$\tilde{H}$ (Bueno,

V

$V$ ) es la función siendo una función de Lyapunov para un sistema de EDO. ¿Existe algún concepto de función de Lyapunov para PDE?

usuario39756

Y por último, pasando a otro tema, ¿por qué la parte

1 / 2 \int_{Ω} u_{x}^{2} d x

$1/2\int_\Omega u_x^2 dx$ suele llamarse energía de Dirichlet? ¿Dónde está la masa o la velocidad para que pueda interpretarse como una energía cinética? y porque es

W

$W$ llama un potencial allí? ¿Es su gradiente algún tipo de fuerza?

Thibaut Demaerel

Creo que en la comunidad de física, el nombre "función de Lyapunov" se usa de manera más amplia: en algún sistema dinámico (en este caso, perfiles de densidad que evolucionan según Allen-Cahn) una función

f

$f$ (dominio=espacio de estado, codominio=R) es Lyapunov si nunca aumenta en el tiempo (versión más débil) o incluso si tiene que disminuir a menos que el sistema haya llegado a un estado estacionario (=lo que llamas equilibrio. Esta es una versión más fuerte de la propiedad Lyapunov). La energía de Dirichlet es solo formalmente análoga a la energía cinética (en que derivados

\partial_{x}

$\partial_x$ actuar sobre el terreno en este término).

Thibaut Demaerel

en el término

W

$W$ no actúan derivados sobre el campo

u

$u$ . Es por eso que la gente pensará y hablará de esto como un potencial. De todos modos, estas son solo cuestiones de terminología y -a priori- quizás no tan importantes.

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