La validez de los flujos difusivos constitutivos

Question

La validez de los flujos difusivos constitutivos

nluigi

En los fenómenos de transporte los flujos difusivos de masa , energía y cantidad de movimiento son las leyes constitutivas:

j_{C} = - D \nabla C j_{T} = - k \nabla T τ_{v} = - m \nabla v

$\boldsymbol{j}_c=-D\boldsymbol{\nabla}c \quad \boldsymbol{j}_T=-k\boldsymbol{\nabla}T \quad \boldsymbol{\tau}_{\boldsymbol{v}}=-\mu\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v}$ con

c

$c$ la concentración de masa,

T

$T$ la temperatura,

v

$\boldsymbol{v}$ la velocidad. Los coeficientes son el coeficiente de difusión de masa

D

$D$ , la conductividad térmica

k

$k$ y la viscosidad dinámica

μ

$\mu$ .

Por lo general, es útil ver el flujo difusivo en términos de gradientes de concentración de masa, energía y cantidad de movimiento. Para el flujo de difusión de masa, este ya es el caso como $c$ es la concentración de masa, el resultado es que las unidades para $D$ son $[m^2/s]$ , unidades típicas para los coeficientes de difusión.

Un análisis dimensional rápido de los otros flujos muestra que estos no son en términos de concentración de energía y momento y $k$ y $\mu$ no son coeficientes de difusión, es decir $k=[W/mK]$ y $\mu=[Ns/ m^2]$ . Podemos proceder a reescribir los flujos en términos de concentraciones de energía y cantidad de movimiento:

j_{T} = - \frac{k}{ρ C_{pag}} \nabla ρ C_{pag} T = - α \nabla ϵ τ_{v} = - \frac{m}{ρ} \nabla ρ v = - v \nabla pag

$\boldsymbol{j}_T=-\frac{k}{\rho c_p}\boldsymbol{\nabla}\rho c_pT=-\alpha\boldsymbol{\nabla}\epsilon\quad \boldsymbol{\tau}_{\boldsymbol{v}}=-\frac{\mu}{\rho}\boldsymbol{\nabla}\rho\boldsymbol{v}=-\nu\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{p}$

Aquí la concentración de energía $\epsilon=[J/m^3]$ y concentración de momento $\boldsymbol{p}=[\left(kgm/s\right)/m^3]$ , con difusividad térmica $\alpha=[m^2/s]$ y viscosidad cinemática $\nu=[m^2/s]$ que muestran estos son los coeficientes de difusión respectivos para la concentración de energía y momento.

El análisis anterior solo se puede hacer bajo el supuesto de incompresibilidad y aquí es donde se origina mi pregunta:

¿Por qué las leyes constitutivas de los flujos difusivos no están definidas en términos de concentración de masa, energía y cantidad de movimiento?

¿Es simplemente porque las leyes se formularon bajo el supuesto de estado estacionario e incompresibilidad? ¿Y si la incompresibilidad no es válida, son las leyes las inválidas?

Como ejemplo práctico de un problema que surge: para un medio comprimible, deberíamos escribir la ecuación de calor por advección-difusión como:

\partial_{t} ρ C_{pag} T + \nabla \cdot ρ C_{pag} tu T = k \nabla^{2} T

$\partial_t\rho c_p T + \boldsymbol{\nabla}\cdot \rho c_p \boldsymbol{u} T = k\nabla^2 T$ o sería de la siguiente forma:

\partial_{t} ρ C_{pag} T + \nabla \cdot ρ C_{pag} tu T = α \nabla^{2} ρ C_{pag} T

$\partial_t\rho c_p T + \boldsymbol{\nabla}\cdot \rho c_p \boldsymbol{u} T = \alpha\nabla^2 \rho c_p T$

kyle kanos

No recuerdo haber visto a nadie usar esa forma de la ecuación adv-diff, siempre sin tener en cuenta

ρ

$\rho$ que lo he visto empleado (incluida mi propia investigación al respecto).

nluigi

@KyleKanos: Hubo un error tipográfico en la ecuación, también la hizo más específica para la temperatura. tambien lo he visto solo sin

ρ

$\rho$ considerado, sin embargo, al derivar la ecuación adv-diff de la ecuación de Boltzmann, descubrí que obtengo la segunda ecuación ... lo que me hizo pensar por qué

ρ

$\rho$ nunca se considera.

Respuestas (2)

La validez de los flujos difusivos constitutivos

No recuerdo haber visto a nadie usar esa forma de la ecuación adv-diff, siempre sin tener en cuenta $\rho$ que lo he visto empleado (incluida mi propia investigación al respecto).
@KyleKanos: Hubo un error tipográfico en la ecuación, también la hizo más específica para la temperatura. tambien lo he visto solo sin $\rho$ considerado, sin embargo, al derivar la ecuación adv-diff de la ecuación de Boltzmann, descubrí que obtengo la segunda ecuación ... lo que me hizo pensar por qué $\rho$ nunca se considera.

kyle kanos · Answer 1

Después de investigar un poco, encontré el artículo Estudio de una ecuación de advección-reacción-difusión en un campo de flujo comprimible de Federico Bianco, Sergio Chibbaro, Roger Prud'homme (enlace arXiv). En este documento que dan la ecuación de advección-reacción-difusión como,

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial ρ ϕ}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ ϕ tu) = D \nabla \cdot (ρ \nabla ϕ) + s \end{matrix}

$\frac{\partial \rho\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho\phi\mathbf u\right)=D\nabla\cdot\left(\rho \nabla\phi\right)+s\tag{1}$ dónde

ϕ

$\phi$ es una especie química (en este caso particular) y

D

$D$ se supuso que era espacialmente constante. Obtuvieron esta fórmula de la ecuación de continuidad (en la página 2).

Ellos declaran,

[Esta ecuación difiere] de
$\begin{matrix} (6) & \frac{\partial θ}{\partial t} + \nabla \cdot (θ tu) = D \nabla^{2} θ + F (θ) \end{matrix}$ $\frac{\partial \theta}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\theta\mathbf u\right)=D\nabla^2\theta+F(\theta)\tag{6}$ que a menudo se encuentra en la literatura para describir la advección, difusión y reacción de un escalar en un flujo comprimible. Esta ecuación es típica en el estudio de la dinámica de poblaciones y el escalar $\theta(x,t)$ , es la concentración de una población. Sin embargo, este modelo no es correcto para la concentración de los productos de combustión. De hecho, en la ecuación (6), si $\nabla\cdot\mathbf u\neq0$ , la concentración $\theta$ puede tomar valores mayores a uno porque no es un parámetro fraccionario.

Entonces parece que si va a incluir la densidad en la ecuación de advección-difusión (es decir, $s=0$ caso de la ecuación ARD anterior), entonces debe usar (1) arriba, en lugar de su caso (que difiere como $\nabla^2(\rho T)\to\nabla\cdot\rho\nabla T$ ).

Gracias por su tiempo, tiene sentido, así que revisaré el documento que proporciona.
@nluigi: No hay problema, me alegro de haber podido ayudar. En realidad, no pude quitarme el pensamiento de la cabeza ayer mientras estaba en el trabajo, así que me senté esta mañana y comencé a indagar.

Tomás · Answer 2

Esta es una vieja pregunta, pero creo que la respuesta no es del todo correcta.

Creo que la conclusión es que la relación constitutiva de la energía y el momento actual son únicas, y la relación para la difusión de partículas debe generalizarse.

Debido a la invariancia de Galileo, la corriente de impulso solo puede depender de los gradientes de velocidad, no de la velocidad misma. Por lo tanto, la estructura tensorial única (ignorando la viscosidad aparente) es

τ_{v} = - m \nabla v

${\boldsymbol \tau}_{\boldsymbol{v}}=-\mu\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v}$ y no podemos tener términos de la forma

(μ / ρ) \nabla (ρ v)

$(\mu/\rho)\boldsymbol{\nabla}(\rho\boldsymbol{v})$ .

De manera similar, la corriente de energía debe ser proporcional a los gradientes de $T$ ,

j_{T} = - k \nabla T .

$\boldsymbol{j}_T=-k\boldsymbol{\nabla}T .$ gradientes de

ρ

$\rho$ o

P

$P$ violar la segunda ley de la termodinámica (estos argumentos se explican en libros de texto más avanzados sobre dinámica de fluidos, consulte el capítulo 49 de Landau y Lifshitz, o en libros de texto modernos sobre física de la materia condensada, consulte la sección 8.4 en Chaikin y Lubensky).

La corriente de partículas (concentración) es más complicada, porque no hay razón para no tener ambos términos que involucran gradientes de concentración (o potencial químico) y gradientes de temperatura. Además, una vez que hay una concentración (es decir, el fluido tiene dos componentes), entonces la corriente de calor puede tener un término proporcional al gradiente de concentración. Esto da

j = - D [\nabla C + (k_{T} / T) \nabla T) + (k_{PAG} / PAG) \nabla PAG],

${\boldsymbol j} = -D[{\boldsymbol \nabla} c +(k_T/T){\boldsymbol \nabla} T) + (k_P/P){\boldsymbol \nabla} P] ,$ dónde

D, k_{T}, k_{P}

$D,k_T,k_P$ son constantes de difusión independientes (que pueden ser funciones de las variables termodinámicas), véase el capítulo 58 de Landau y Lifshitz.

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Tomás

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