Calcular derivada con definición de límite

necesitas calcular

$$\begin{align} f'(5) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h) - f(5)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h) - 7}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{4(5+h) + 1}{5+h-2} - 7}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{21 +4h}{3+h} - 7}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{21 +4h}{3+h} - 7\frac{3+h}{3+h}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{21 +4h}{3+h} - \frac{21+7h}{3+h}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{21 +4h - (21+7h)}{3+h}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-3h}{3+h}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-3}{3+h} \\ &= \frac{\lim_{h \to 0} (-3)}{\lim_{h\to 0}3+h} \\ &= \frac{-3}{3} \\ &= -1.\end{align}$$

Queremos la derivada en$5$. entonces queremos$\lim_{h\to 0} \frac {f(5+h)-f(5)}{h}$. Tenga en cuenta que$f(5)=7$, por lo que en este caso queremos

$$\lim_{h\to 0} \frac{\frac{4(5+h)+1}{5+h-2}-7}{h}.\tag{1}$$

El numerador en (1) se simplifica a$\frac{21+4h}{3+h}-7$. Llevar esto a un denominador común$3+h$, y cosas buenas sucederán.

Para calcular la derivada en$x=5$necesitas calcular$\frac {f(5+h)-f(5)}h$y tomar el límite.

Deberías encontrar que esto es

$$\frac 1h \cdot\left(\frac {4\cdot(5+h)+1}{(5+h)-2}-\frac {4\times 5+1}{5-2}\right)$$ y con un poco de cuidado, eso debería salir bien. Necesitas sustituir $x=5$en ambas partes.

$$f'(5)=lim_{h \to 0 }\frac{f(5+h)-f(5)}{h} = lim_{h \to 0 }\frac{\frac{4(5+h)+1}{3+h}-\frac{21}{3}}{h} = lim_{h \to 0 }\frac{-9h}{3h(3+h)} = lim_{h \to 0 }\frac{-3}{3+h}$$ Entonces, $f'(5) = -1$.