¿Diferencia entre el valor de una función en un punto y su límite en ese punto?

Question

¿Diferencia entre el valor de una función en un punto y su límite en ese punto?

limites
cálculo
continuidad
Matemáticas

Kashi

Como estudiante de secundaria, entiendo la diferencia teórica básica entre los dos, ya que el límite es a qué se acerca esa función cuando la entrada se acerca a algo (pero nunca igual a ella) o cómo se comporta cerca de ese punto, etc. Pero a veces no parece tener sentido. Al igual que algunos libros de texto, al evaluar ciertos límites simples como este:

Simplemente sustituyen el valor 4 y lo evalúan así:

Pero entonces, ¿en qué se diferencia de evaluar la función misma en ese punto? Se puede decir que aquí tanto el límite como el valor en ese punto serán los mismos, pero estoy señalando el método utilizado aquí, ¡SUSTITUCIÓN SIMPLE!

Junto con una mejor comprensión de la diferencia entre los dos, también me gustaría entender qué significa cuando tanto el valor en ese punto como el límite están definidos pero aún así son diferentes . Porque me han dicho que los límites se usan para evaluar valores indefinidos. /expresiones como $\frac{0}{0}$ , $\infty / \infty$ , $0^{0}$ etc. Para Ex-

Ambos están bien definidos, aún son diferentes. ¿Qué significa esa diferencia en casos como estos?

usuario2661923

Si

f (x)

$f(x)$ se define en una vecindad de

(x_{0})

$(x_0)$ ,

f (x)

$f(x)$ se define en

x_{0}

$x_0$ , y

f (x)

$f(x)$ es una función continua en

x_{0}

$x_0$ , entonces

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$ Aquí, un barrio de radio

δ > 0

$\delta > 0$ , alrededor

x_{0}

$x_0$ denota todo

x

$x$ tal que

0 < | x - x_{0} | < δ .

$0 < |x - x_0| < \delta.$ La función

F (X) = \frac{4 X + 3}{X - 2}

$f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ está bien definido en

x = 4

$x = 4$ , definido en un barrio alrededor

x = 4

$x = 4$ , y continua en

x = 4

$x=4$ .

usuario2661923

En relación con el comentario anterior, se podría argumentar que se trata de un razonamiento circular con respecto a que estoy asumiendo (con respecto a la continuidad) lo que se pide probar . Hay otros resultados en Análisis Real que establecen que

f (x)

$f(x)$ es una función continua en

x = 4

$x = 4$ . Por ejemplo, tanto el numerador como el denominador son funciones continuas en

x = 4

$x = 4$ , y el cociente de dos funciones continuas es en sí mismo una función continua, siempre que el denominador en el punto pertinente no sea igual a

0

$0$ .

Paramanand Singh

Puede echar un vistazo a esta respuesta: math.stackexchange.com/a/1822706/72031

Paramanand Singh

También debe recordar que los límites no se evalúan por SUSTITUCIÓN SIMPLE, sino mediante el uso de teoremas destinados a evaluar límites. ¿Has visto teoremas que tratan sobre límite de suma, diferencia, producto, cociente de dos funciones? Necesita usar tales teoremas combinados con otros dos resultados simples:

lim_{x \to a} x = a, lim_{x \to a} k = k

$\lim_{x\to a} x=a, \lim_{x\to a} k=k$ . Para un primer curso de cálculo, no es necesario saber demostraciones de tales teoremas, pero uno debe aprender a usarlos.

Paramanand Singh

Espero que tu maestro o libro de texto mencione estos teoremas que son muy importantes para tener una comprensión sólida de los límites.

Kashi

@ParamanandSingh, creo que lo hacen (el libro de texto lo hace, el maestro no tanto) y sí, no hay pruebas de todo. Definitivamente leeré tu respuesta. ¡Gracias!

Respuestas (2)

¿Diferencia entre el valor de una función en un punto y su límite en ese punto?

Si $f(x)$ se define en una vecindad de $(x_0)$ , $f(x)$ se define en $x_0$ , y $f(x)$ es una función continua en $x_0$ , entonces $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$ Aquí, un barrio de radio $\delta > 0$ , alrededor $x_0$ denota todo $x$ tal que $0 < |x - x_0| < \delta.$ La función $F (X) = \frac{4 X + 3}{X - 2}$ $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ está bien definido en $x = 4$ , definido en un barrio alrededor $x = 4$ , y continua en $x=4$ .
En relación con el comentario anterior, se podría argumentar que se trata de un razonamiento circular con respecto a que estoy asumiendo (con respecto a la continuidad) lo que se pide probar . Hay otros resultados en Análisis Real que establecen que $f(x)$ es una función continua en $x = 4$ . Por ejemplo, tanto el numerador como el denominador son funciones continuas en $x = 4$ , y el cociente de dos funciones continuas es en sí mismo una función continua, siempre que el denominador en el punto pertinente no sea igual a $0$ .
Puede echar un vistazo a esta respuesta: math.stackexchange.com/a/1822706/72031
También debe recordar que los límites no se evalúan por SUSTITUCIÓN SIMPLE, sino mediante el uso de teoremas destinados a evaluar límites. ¿Has visto teoremas que tratan sobre límite de suma, diferencia, producto, cociente de dos funciones? Necesita usar tales teoremas combinados con otros dos resultados simples: $\lim_{x\to a} x=a, \lim_{x\to a} k=k$ . Para un primer curso de cálculo, no es necesario saber demostraciones de tales teoremas, pero uno debe aprender a usarlos.
Espero que tu maestro o libro de texto mencione estos teoremas que son muy importantes para tener una comprensión sólida de los límites.
@ParamanandSingh, creo que lo hacen (el libro de texto lo hace, el maestro no tanto) y sí, no hay pruebas de todo. Definitivamente leeré tu respuesta. ¡Gracias!

usuario7530 · Answer 1

La definición del límite de $f(x)$ en $x=x_0$ mira el comportamiento de $f$ a medida que te acercas $x_0$ , pero en realidad no mira el valor en $x_0$ .

Entonces, por ejemplo, si tienes la función

F (X) = {\begin{cases} 0, & X \neq 0 \\ 1, & X = 0 \end{cases}

$f(x) = \begin{cases}0, &x\neq 0\\1, &x=0\end{cases}$ entonces

f (0) = 1

$f(0)=1$ pero

lim_{x \to 0} f (x) = 0.

$\lim_{x\to 0} f(x) = 0.$

Para funciones continuas , $f(x_0) = \lim_{x\to x_0} f(x)$ . (Que los límites de una función existen, y son iguales a simplemente evaluar la función, es después de todo la definición de continuidad). Muchos libros de texto evaluarán los límites conectando $x_0$ cuando la función en cuestión es "obviamente" continua en $x_0$ . La mayoría de las funciones que encuentras "en la naturaleza" son continuas en casi todas partes, incluidos polinomios, funciones racionales, funciones trigonométricas y composiciones hechas de estas piezas. Para ser completamente riguroso, debe probar que una función en particular es continua antes de conectarse para evaluar un límite, pero en la práctica, a medida que adquiera más experiencia y se sienta cómodo, comenzará a omitir este paso.

La razón por la que las formas indeterminadas son como $\frac{0}{0}$ se enfatizan tanto es que son uno de los casos más comunes donde la continuidad de una función no es obvia, y donde a veces es necesario un análisis cuidadoso usando las definiciones de límite.

Brian Lai · Answer 2

El truco que usa tu libro de texto es el resultado:

Una función de valor real $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ en el dominio $D \subseteq \mathbb{R}$ es continua en $c \in \mathbb{R}$ si $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$ .

Entonces, el libro de texto básicamente dice "conocemos esta función $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ es continua en $x = 4$ , por lo que simplemente podemos tomar $\lim_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4).$ "

¡Pero espera un minuto! ¿Cómo sabemos la función? $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ es continua en $x = 4$ ??? Para mostrar que $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ es continua en $x = 4$ ¿No necesitamos mostrar primero que $\lim_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4)$ ????

Entonces, el libro de texto usa más o menos alguna lógica circular para abordar este problema. Pero para muchos propósitos prácticos, sabemos por experiencia previa dónde las funciones comunes son continuas/discontinuas. Si sabemos que la función es continua en el punto del límite, podemos usar sustitución simple.

Una prueba más rigurosa de que $\lim_{x \rightarrow 4} \frac{4x+3}{x-2} = \frac{19}{2}$ iría así:

Dejar $\epsilon > 0$ . Elegir $\delta = \min\{\frac{2}{11}\epsilon , 1\}$ y deja $\vert x - 4 \vert < \delta$ .

Entonces, $\vert f(x) - \frac{19}{2}\vert = \vert\frac{4x+3}{x-2} - \frac{19}{2}\vert = \vert \frac{-11x+44}{2x-4} \vert = 11 \vert x-4 \vert \vert \frac{1}{2x-4} \vert$ .

Tenga en cuenta que $\frac{1}{6} \le \vert \frac{1}{2x-4} \vert \le \frac{1}{2}$ , entonces,

$11 \vert x-4 \vert \vert \frac{1}{2x-4} \vert \le \frac{11}{2} \vert x-4 \vert < \frac{11}{2}\delta \le \epsilon$ . Por lo tanto, $\lim_{x \rightarrow 4} \frac{4x+3}{x-2} = \frac{19}{2}$ . $\square$

Aprendería que este es un curso universitario de introducción al análisis real, pero para un curso de introducción al cálculo de HS es un poco excesivo. Quieren que obtengas un concepto de límites antes de entrar en rigor (eso es si alguna vez lo haces). Para muchas profesiones STEM aplicadas, los conceptos básicos de límites son más que suficientes.

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Kashi

usuario2661923

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Paramanand Singh

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usuario7530

Brian Lai

Evalúa limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} usando continuidad (sin L'Hospital)

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