Evalúa limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} usando continuidad (sin L'Hospital)

Question

Evalúa limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} usando continuidad (sin L'Hospital)

limites
cálculo
continuidad
Matemáticas
límites-sin-lhopital

El Senado

Un poco de historia: estoy haciendo TA para una clase de Cálculo I (principalmente especializaciones que no son de matemáticas), y este problema apareció en la hoja de trabajo para mañana. Hemos desarrollado completamente los límites, incluido el teorema de compresión y la continuidad, pero aún no hemos cubierto la regla de L'Hospital. No estoy seguro de cómo se supone que los estudiantes deben abordar este. Tal vez me estoy perdiendo algo. Aquí está el problema:

Utilice la continuidad para evaluar el límite. Explique su respuesta (especialmente por qué puede usar la continuidad).

\underset{X \to - 2}{límite} \frac{X + 2}{pecado (\frac{π X}{2})} .

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)}.$

Vemos que esta función no es continua (tiene un agujero) en $-2$ y, para el caso, en todos los valores de $x$ eso hace $\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big) = 0$ . Obtendremos $\frac{0}{0}$ si hacemos todos los pasos para llegar al punto en el que podemos enchufar $-2$ . No podemos usar la regla de L'Hospital. La mejor dirección que veo es algo como esto:
$\begin{aligned} \underset{X \to - 2}{límite} \frac{X + 2}{pecado (\frac{π X}{2})} & = \underset{X \to - 2}{límite} \frac{X}{pecado (\frac{π X}{2})} + \underset{X \to - 2}{límite} \frac{2}{pecado (\frac{π X}{2})} \\ = \frac{2}{π} \underset{X \to - 2}{límite} \frac{\frac{π X}{2}}{pecado (\frac{π X}{2})} + 2 \underset{X \to - 2}{límite} \frac{1}{pecado (\frac{π X}{2})} \end{aligned}$ $\begin{align*} \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} &= \lim_{x \to -2} \frac{x}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} + \lim_{x \to -2} \frac{2}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)}\\ &= \frac{2}{\pi}\lim_{x \to -2} \frac{\frac{\pi x}{2}}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} + 2\lim_{x \to -2} \frac{1}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} \end{align*}$ A partir de ahí, podríamos ser capaces de hacer algunos $\frac{\sin(x)}{x}$ -escriba algo con el término de la izquierda, pero no estoy muy seguro de qué hacer con el término de la derecha.

AlvinL

La primera igualdad funciona si los límites individuales existen y son finitos.

El Senado

Verdadero. Supongo que el izquierdo existe, pero creo que el segundo no. Por L'Hospital's, la respuesta es

\frac{- 2}{π}

$\frac{-2}{\pi}$ Creo.

Kavi Rama Murthy

Pista:

\sin (\frac{π x}{2}) = - \sin (π + \frac{π x}{2}) \sim - (π + \frac{π x}{2})

$\sin (\frac {\pi x} 2)=-\sin (\pi +\frac {\pi x} 2) \sim - (\pi +\frac {\pi x} 2)$ como

x \to - 2

$x \to -2$ . La respuesta es

- \frac{2}{π}

$-\frac 2 {\pi}$ .

ultraleyenda5385

Es posible que pueda girar la cosa dentro de modo que pueda usar directamente

\sin x = x

$\sin x = x$ como

x \to 0

$x\to0$ .

boojum

Está dividiendo el límite de una forma indeterminada en dos límites que no son indeterminados, lo que probablemente no sea útil. Intenta sustituir

u = x + 2

$\ u \ = \ x + 2 \$ , usa las propiedades de la función seno para escribirla como

- \sin (π / 2 \cdot u)

$\ -\sin(\pi/2 · u) \$ y usar la ley del límite para

\frac{\sin u}{u}

$\ \frac{\sin u}{u} \$ como

u \to 0

$\ u \rightarrow 0 \$ adecuadamente.

BCLC

1 - teorema de compresión? 2 - se le permite la cosa para

\frac{\sin (u)}{u}

$\frac{\sin(u)}{u}$ ? Creo que hay una sustitución que hacer aquí

xander henderson

Realmente no me gusta la declaración "Vemos que esta función no es continua (tiene un agujero) en −2". La función no está definida en

x = - 2

$x=-2$ . Generalmente pienso que es inapropiado hablar sobre si una función es continua o no en un punto que no está en su dominio. por ejemplo, es

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ continuo en

- 1

$-1$ ? Creo que podría hacer un buen argumento de cualquier manera, dependiendo de cómo, precisamente, se haya definido "continuidad". No puedes "simplemente enchufar

- 2

$-2$ " porque la función no está definida en

- 2

$-2$ , no porque la función sea discontinua allí.

Respuestas (3)

Evalúa limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} usando continuidad (sin L'Hospital)

La primera igualdad funciona si los límites individuales existen y son finitos.
Verdadero. Supongo que el izquierdo existe, pero creo que el segundo no. Por L'Hospital's, la respuesta es $\frac{-2}{\pi}$ Creo.
Pista: $\sin (\frac {\pi x} 2)=-\sin (\pi +\frac {\pi x} 2) \sim - (\pi +\frac {\pi x} 2)$ como $x \to -2$ . La respuesta es $-\frac 2 {\pi}$ .
Es posible que pueda girar la cosa dentro de modo que pueda usar directamente $\sin x = x$ como $x\to0$ .
Está dividiendo el límite de una forma indeterminada en dos límites que no son indeterminados, lo que probablemente no sea útil. Intenta sustituir $\ u \ = \ x + 2 \$ , usa las propiedades de la función seno para escribirla como $\ -\sin(\pi/2 · u) \$ y usar la ley del límite para $\ \frac{\sin u}{u} \$ como $\ u \rightarrow 0 \$ adecuadamente.
1 - teorema de compresión? 2 - se le permite la cosa para $\frac{\sin(u)}{u}$ ? Creo que hay una sustitución que hacer aquí
Realmente no me gusta la declaración "Vemos que esta función no es continua (tiene un agujero) en −2". La función no está definida en $x=-2$ . Generalmente pienso que es inapropiado hablar sobre si una función es continua o no en un punto que no está en su dominio. por ejemplo, es $\sqrt{x}$ continuo en $-1$ ? Creo que podría hacer un buen argumento de cualquier manera, dependiendo de cómo, precisamente, se haya definido "continuidad". No puedes "simplemente enchufar $-2$ " porque la función no está definida en $-2$ , no porque la función sea discontinua allí.

Sarvesh Ravichandran Iyer · Answer 1

Creo que el término correcto explota, y también lo hace el izquierdo (porque $x\to -2$ , el denominador va a $0$ pero el numerador no). Por lo tanto, la descomposición realizada es incorrecta. Sin embargo,

La idea clave es que $-\sin(\pi+x)= \sin x$ para cualquier $x$ . Esto es bastante obvio de probar a partir de la fórmula de la suma.

En particular, tenemos:

pecado (\frac{π X}{2}) = - pecado (\frac{π X}{2} + π) = - pecado (\frac{π (X + 2)}{2})

$\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi x}{2} + \pi\right) = - \sin\left(\frac{\pi (x+2)}{2}\right)$

Ahora, la ventaja que tenemos es que podemos hacer uso de la $\sin x \over x$ regla, después de un cambio de variable. De hecho, tenemos:

\frac{X + 2}{pecado (\frac{π X}{2})} = - \frac{X + 2}{pecado (\frac{π (X + 2)}{2})} = - \frac{2}{π} \frac{\frac{π (X + 2)}{2}}{pecado (\frac{π (X + 2)}{2})}

$\frac{x+2}{\sin(\frac{\pi x}{2})} = -\frac{x+2}{\sin\left(\frac{\pi(x+2)}2\right)} = -\frac{2}{\pi} \frac{\frac{\pi(x+2)}{2}}{\sin \left(\frac{\pi(x+2)}{2}\right)}$

Dejar $y = \frac{\pi(x+2)}{2}$ . Entonces como $x \to -2$ tenemos $y \to 0$ . En particular,

\underset{X \to - 2}{límite} \frac{X + 2}{pecado (\frac{π X}{2})} = \underset{y \to 0}{límite} - \frac{2}{π} \frac{y}{pecado (y)} = - \frac{2}{π}

$\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{\sin(\frac{\pi x}{2})} = \lim_{y \to 0} -\frac 2{\pi} \frac{y}{\sin(y)} = \boxed{-\frac{2}{\pi}}$

y esto también se puede verificar fácilmente con Wolfram Alpha .

Nota: Gracias a @lalala a continuación. Ellos mencionan que $\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin y} = 1$ puede probarse a través de L'Hopital. Sin embargo, podemos hacerlo mejor, y es por eso que este es un resultado estándar.

Yo sugeriría mirar esta página para una prueba geométrica de la desigualdad $1 < \frac{y}{\sin y} < \frac 1{\cos y}$ para todos $y \in (\frac{-\pi }{2} , \frac \pi 2)$ (Para $y$ nota negativa que $\sin y = -\sin (-y)$ tiene el mismo signo que $y$ entonces se cancelan). Entonces el teorema del apretón se aplica como $y \to 0$ para concluir.

@TheSenate ¡Gracias por los comentarios! Estoy acostumbrado a dar respuestas más detalladas, pero en este caso decidí no hacerlo. Se proporcionan casi todos los detalles, excepto que debe demostrar que $y \to 0$ cuando $x \to -2$ , que se deriva de las reglas basadas en límites. Espero que la sustitución sea aplicable, veo "continuidad" en las reglas permitidas, por lo que debería ser parte de eso.
Creo que deberías dar más detalles sobre el último signo de igualdad (probablemente uses la derivada de sin es cos y la función inv en continuo)
@lalala Hola, gracias por el comentario y disculpa que lo leí un poco tarde. Tenía la impresión de que el resultado $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ es un resultado estándar que se prueba con métodos distintos de L'Hopital (aunque, como mencionas, L'Hopital podría probarlo fácilmente). El resultado se puede probar en una clase de Cálculo demostrando que $\cos x<\frac{\sin x}{x} < 1$ para $x \approx 0$ usando áreas en un diagrama, y usando el teorema de compresión. SI no fuera por esto, tendría que usar L'Hopital, así que buena captura.

estudiante solitario · Answer 2

Tenemos,

\begin{aligned} \underset{X \to - 2}{límite} \frac{X + 2}{pecado (\frac{π X}{2})} & = 2 \underset{tu \to - π}{límite} \frac{\frac{π + tu}{π}}{- pecado (π + tu)} \\ = - 2 \underset{tu \to - π}{límite} \frac{\frac{1}{π}}{\frac{pecado (π + tu)}{π + tu}} \\ = - \frac{2}{π} . \end{aligned}

$\begin{align}\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} &=2\lim_{u \to -\pi} \frac{\frac{\pi +u}{\pi}}{-\sin (\pi +u)}\\ &=-2\lim_{u \to -\pi} \frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{\sin (\pi +u)}{\pi +u}}\\ &=-\frac {2}{\pi}.\end{align}$

usuario · Answer 3

En estos casos, un cambio de coordenadas puede ayudar, en particular al $y=x+2\to 0$ usando eso $\sin (-\pi + \theta)=-\sin(\theta)$ y límites estándar obtenemos

\underset{X \to - 2}{límite} \frac{X + 2}{pecado (\frac{π X}{2})} = \underset{y \to 0}{límite} \frac{y}{pecado (- π + \frac{π y}{2})} = \underset{y \to 0}{límite} (- \frac{2}{π}) \cdot \frac{\frac{π}{2} y}{pecado (\frac{π y}{2})} = - \frac{2}{π}

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)}=\lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin\left(-\pi +\frac{\pi y}{2}\right)}=\lim_{y \to 0} \left(-\frac 2 \pi\right)\cdot \frac{\frac \pi 2y}{\sin\left( \frac{\pi y}{2}\right)}=-\frac 2 \pi$

Evalúa limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} usando continuidad (sin L'Hospital)

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Resolver limx→0cos(π2cos(x))sin(sin(x2))limx→0cos⁡(π2cos⁡(x))sin⁡(sin⁡(x2))\lim_{x\to0}\frac{\cos\ izquierda(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}

¿Diferencia entre el valor de una función en un punto y su límite en ese punto?

Límite multivariable: ¿cómo demostrar que existe?

Cómo el concepto de límite nos permite pasar de las secantes a las tangentes

Límite de la función multivariante en el origen

¿Cómo probar que limx→0sinxx=1limx→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1?

Diferente definición de continuidad.

¿Cómo resolver este límite sin aplicar la regla de L'Hopitale?

¿Es esto aplicable bajo el primer principio de diferenciación?

Encontrar la derivada de una función usando primeros principios