Límite multivariable: ¿cómo demostrar que existe?

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Límite multivariable: ¿cómo demostrar que existe?

limites
cálculo
continuidad
Matemáticas
cálculo multivariable

miguel ferreira

Recientemente comencé Cálculo II y no puedo entender cómo probar si existe un límite o no.

Teniendo $f(x,y) = \dfrac{x^2+y^2}{\ln(x^2+y^2)},$ si $x^2+y^2<1$ y $(x,y)\neq (0,0),$

y $f(x,y) = 0$ si $(x,y) = (0,0),$

¿Cómo puedo estudiar la continuidad de la función en el origen?

Ya he hecho esto: 1) $\lim_{x\to 0} f(x,0)$ y 2) $\lim_{y\to 0} f(0,y)$ , y ambos son iguales.

Entonces he resuelto los siguientes límites: $\lim_{x\to 0} f(x,mx)$ y $\lim_{x\to 0} f(x,kx^2)$ , y creo que ambos son 0; ¿Es esto suficiente para probar la continuidad de la función en (x,y) = (0,0)?

Y una cosa más: ¿cómo puedo probar si el límite existe por definición?

¡Muchas gracias!

Respuestas (2)

Límite multivariable: ¿cómo demostrar que existe?

jose carlos santos · Answer 1

Usar coordenadas polares: si $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ , entonces

F (X, y) = \frac{r^{2}}{registro (r^{2})} = \frac{r^{2}}{2 registro r}

$f(x,y)=\frac{r^2}{\log(r^2)}=\frac{r^2}{2\log r}$ y

\underset{r \to 0}{límite} \frac{r^{2}}{2 registro r} = 0.

$\lim_{r\to0}\frac{r^2}{2\log r}=0.$ Por lo tanto,

\underset{(X, y) \to (0, 0)}{límite} F (X, y) = 0.

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.$

pierrecarre · Answer 2

En este caso, solo puede cambiar las variables... Configuración $u=x^2+y^2$ , el límite se puede calcular como

\underset{tu \to 0^{+}}{límite} \frac{tu}{registro tu} = 0.

$\lim_{u\to 0^+} \frac{u}{\log u} = 0.$ Con respecto a su primera pregunta, no es suficiente calcular límites a lo largo de líneas rectas y parábolas para demostrar que existe un límite. Además, puede ver que para lo suficientemente pequeño

x^{2} + y^{2}

$x^2+y^2$ tienes eso

| \log (x^{2} + y^{2}) | > 1

$|\log(x^2+y^2)|> 1$ y entonces

| \frac{X^{2} + y^{2}}{registro (X^{2} + y^{2})} - 0 | \leq | X^{2} + y^{2} | \to 0

$\left|\frac{x^2+y^2}{\log(x^2+y^2)}-0\right|\leq \left|x^2+y^2 \right|\to 0$

¡Perdón por la larga demora! ¡Gracias por la respuesta!:)

Límite multivariable: ¿cómo demostrar que existe?

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Límite de la función multivariante en el origen

Límite lim(x,y)→(0,0)sin(x2−y2)x2−y2lim(x,y)→(0,0)sen⁡(x2−y2)x2−y2\lim\limits_{(x ,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2-y^2)}{x^2-y^2}

Evalúa limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} usando continuidad (sin L'Hospital)

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