Diferente definición de continuidad.

Sí, son equivalentes. supongamos que eliges$\delta$de acuerdo con la definición habitual de continuidad absoluta con$\epsilon$reemplazado por$\epsilon /2$. Si$(a_k.b_k)$es una sucesión disjunta de intervalos con longitud total menor que$\delta$entonces$\sum\limits_{k=1}^{N} |f(b_k)-f(a_k)| < \epsilon /2$para cada$N$. Dejar$N \to \infty$para completar la prueba.

Dada cualquier función$f:I\to\mathbb R$(no necesariamente continuo), la condición: Para cualquier secuencia contable de subintervalos disjuntos por pares$(x_k, y_k)$de$I$, tenemos$\forall\epsilon\exists\delta$tal que

Prueba: Dada cualquier secuencia contable de subintervalos disjuntos por pares$(x_k, y_k)$de$I$, solo elige$\delta = \frac{1}{2} \sum_{k} |y_{k} - x_{k}|$. Entonces la condición$\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$será falso y por lo tanto la implicación "$\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$implica$\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| < \epsilon$será trivialmente cierto.

Entonces esta condición no es suficiente para la continuidad absoluta o incluso para la continuidad.