¿En qué se diferencian físicamente la métrica FRW y la métrica Minkowski?

Decidir si dos métricas están relacionadas por un cambio de marco y/o transformación de coordenadas se denomina problema de equivalencia . Se puede resolver usando el algoritmo de Cartan-Karlhede .

Dada una métrica$g$expresado en algunas coordenadas$x_i$, el algoritmo calcula un conjunto de invariantes de curvatura definidos invariablemente expresados ​​como funciones de$x_i$. Por ejemplo, la curvatura escalar$R = R(x_i)$. Para decidir si dos métricas son equivalentes , calcule este conjunto para ambas métricas y considere el conjunto de ecuaciones

$$\begin{align*} R(x_i) & = R'(y_i) \\ \Psi_1(x_i) & = \Psi_1'(y_i) \\ & \vdots \end{align*}$$ donde las cantidades con prima se refieren a la segunda métrica, que se expresa en las coordenadas $y_i$. (El conjunto completo de ecuaciones suele ser mucho más grande, pero también normalmente muchas de las ecuaciones son $0 = 0$.)

Si puedes resolver el$y_i$como funciones de la$x_i$o viceversa (o simplemente mostrar que existe una solución), ha establecido que las métricas son equivalentes. Si está claro que no existe una solución (por ejemplo, una de las ecuaciones podría ser$1 = 0$) las métricas no son equivalentes.

---

Para el caso particular de las métricas FLRW comparadas con la métrica de Minkowski, una de las ecuaciones es $$0 = (k + \dot{a}^2)$$ dónde $k$y $a$son las cantidades que aparecen en el elemento de línea FLRW y otra es $$0 = k+\dot{a}^2 + a\ddot{a}$$ Combinando estos debe ser que $a$es una constante y $k = 0$. Esto corresponde a la métrica de Minkowski con la parte espacial expresada en coordenadas esféricas con las coordenadas radiales escaladas en un factor $a$en relación unos con otros.

A esta conclusión también se puede llegar a partir de las ecuaciones de Friedmann . Para la métrica de Minkowski$\rho - \Lambda / \kappa = p + \Lambda / \kappa = 0$y las ecuaciones de Friedmann implican$k = 0$,$a$constante.

No tiene sentido exigir que$dx' = a(t)\ dx$. Suponga que su transformación de coordenadas fuera de la forma$x' = x'(x)$. Entonces tendrías$dx' = \frac{dx'}{dx}\ dx$, pero$\frac{dx'}{dx}$tendria que ser una funcion de$x$solo, y por eso no podía ser$a(t)$. Ahora supongamos que tratamos de arreglar eso haciendo una transformación$x' = x'(x,t)$. Ahora$dx' = \frac{\partial x'}{\partial x}\ dx + \frac{\partial x'}{\partial t}\ dt$, y obtenemos un$dt$término que estropeará las cosas. Entonces, su transformación de coordenadas propuesta no es realmente una.

La moraleja aquí es que definir una transformación solicitando una transformación correspondiente de los diferenciales solo se garantiza que funcione cuando una sola variable está involucrada cada vez. Por ejemplo, si por alguna razón quisieras una nueva coordenada$x'$tal que$dx' = x^2\ dx$, entonces podría simplemente integrar para encontrar$x' = \frac13 x^3$. Pero en tu caso, si vas a exigir eso$dx' = f\ dx + g\ dt$donde ambos$f$y$g$depender de$(x,t)$y aquí)$g=0$, entonces esto solo es realizable si$\partial_x g = \partial_t f$, lo cual no es cierto en su transformación propuesta.