Invariancia de difeomorfismo y acción geodésica

Question

Invariancia de difeomorfismo y acción geodésica

Física
tensor-métrico
sistemas coordinados
relatividad general
geometría diferencial
difeomorfismo-invariancia

Wooster

Estoy tratando de entender el papel del difeomorfismo y la invariancia de isometría en la acción geodésica en GR:

S = \int_{τ_{1}}^{τ_{2}} d τ {gramo}_{a b} (X (τ)) \frac{d X^{a}}{d τ} \frac{d X^{a}}{d τ}

$S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \! d\tau~ g_{ab}(x(\tau)) \frac{dx^a}{d\tau} \frac{dx^a}{d\tau}$

Ahora bien, si transformamos las coordenadas con $y = y(x)$ y aplicar las leyes de transformación habituales de los vectores métrico y tangente que es claro que

L = {gramo}_{a b} (X (τ)) \frac{d X^{a}}{d τ} \frac{d X^{a}}{d τ}

$L = g_{ab}(x(\tau)) \frac{dx^a}{d\tau} \frac{dx^a}{d\tau}$ se transforma como un escalar.

Estoy confundido porque igualmente podemos considerar este cambio de coordenadas como un difeomorfismo "activo" $\phi: M \to M$ y luego la afirmación de que la acción se transforma como un escalar es que las geodésicas se asignan a geodésicas bajo un difeomorfismo arbitrario. Sin embargo, espero que eso no sea cierto, solo debería ser cierto para los difeomorfismos tales que $\phi^* g = g$ es decir, isometrías.

Me gustaría entender cómo podemos ver correctamente la transformación de la acción y ver que las geodésicas se conservan solo bajo isometrías (por ejemplo, isometrías de un parámetro generadas por un campo vectorial $\xi^a$ ) y no bajo difeomorfismos generales. Me imagino que debería ser posible mostrar que esta acción se conserva bajo un grupo de difeomorfismos de un parámetro (generado por $\xi^a$ ) si y solo si $\xi^a$ ¿esta matando?

En particular, estoy interesado en entender cómo debo aplicar correctamente la transformación a $S$ (ya sea activa o pasiva) que corresponde a una isometría? Y comprender la distinción entre una isometría y un difeomorfismo tanto en la imagen activa como en la pasiva, es decir, si podemos ver cada difeomorfismo como el mapa de identidad en la imagen pasiva, aunque obviamente no es cierto, en este momento me parece que cada el difeomorfismo es una isometría; me gustaría ver por qué ese no es el caso.

una mente curiosa

Posible duplicado de El papel de la invariancia de difeomorfismo activo y pasivo en GR

una mente curiosa

Vea la respuesta de twistor: en el punto de vista activo sobre los cambios de coordenadas, debe arrastrar la métrica a lo largo del difeomorfismo y usar el resultado como la métrica después de la nueva transformación . Mapea geodésicas en la métrica antigua a geodésicas en la métrica nueva , pero no es una isometría de

(M, g)

$(M,g)$ a sí mismo como lo son los difeomorfismos generados por Killing fields.

Wooster

La respuesta de Twistor es genial, sin embargo, realmente estoy tratando de entender los detalles de esto en el caso particular de la acción y la diferencia entre un difeomorfismo y una isometría (no se habla de campos de muerte en esa respuesta), ahí es donde yo' estoy luchando ¿Qué quiere decir con arrastrar la métrica en este caso?

Wooster

Estas diciendo eso

g_{a b} (x)

$g_{ab}(x)$ debería convertirse en

g_{a b} (y)

$g_{ab}(y)$ ? También parece haber un problema en la respuesta de Twistor en el sentido de que la nueva métrica bajo un difeomorfismo activo debe escribirse en la misma base de coordenadas, es decir

d x

$dx$ y no

d X

$dX$ .

Respuestas (1)

Invariancia de difeomorfismo y acción geodésica

Posible duplicado de El papel de la invariancia de difeomorfismo activo y pasivo en GR
Vea la respuesta de twistor: en el punto de vista activo sobre los cambios de coordenadas, debe arrastrar la métrica a lo largo del difeomorfismo y usar el resultado como la métrica después de la nueva transformación . Mapea geodésicas en la métrica antigua a geodésicas en la métrica nueva , pero no es una isometría de $(M,g)$ a sí mismo como lo son los difeomorfismos generados por Killing fields.
La respuesta de Twistor es genial, sin embargo, realmente estoy tratando de entender los detalles de esto en el caso particular de la acción y la diferencia entre un difeomorfismo y una isometría (no se habla de campos de muerte en esa respuesta), ahí es donde yo' estoy luchando ¿Qué quiere decir con arrastrar la métrica en este caso?
Estas diciendo eso $g_{ab}(x)$ debería convertirse en $g_{ab}(y)$ ? También parece haber un problema en la respuesta de Twistor en el sentido de que la nueva métrica bajo un difeomorfismo activo debe escribirse en la misma base de coordenadas, es decir $dx$ y no $dX$ .

zzz · Answer 1

Un difeomorfismo general no asigna geodésicas a geodésicas. Algunos contraejemplos simples

Puede construir un difeomorfismo en el plano euclidiano imaginando que coloca un dedo sobre un mantel en el punto $x$ y arrastrándolo. Este mapa es claramente suave, se construye un inverso suave arrastrando el dedo hacia atrás. Cualquier geodésica en el plano (una línea) que pasa por el punto $x$ ciertamente se asignará a una curva extraña, ya no será una geodésica en el plano.
Considere el semiplano superior $\mathbb E^+ \equiv \mathbb R^+ \times \mathbb R$ , con la métrica euclidiana. Considere el semiplano de Poincaré $\mathbb H^2$ con la métrica hiperbólica. Hay un difeomorfismo obvio entre los dos: el mapa de identidad. Bajo el mapa de identidad, las líneas rectas se asignan a... bueno, a sí mismas. Entonces, las geodésicas en el plano no se asignan a las geodésicas en el plano hiperbólico bajo este difeomorfismo.

En particular, la invariancia del difeomorfismo del funcional geodésico, que usted (más o menos) mostró correctamente, ciertamente no implica que las geodésicas se asignen a las geodésicas. Entonces, veamos qué implica esto realmente.

Los difeomorfismos no asignan geodésicas a geodésicas

Dejar $M$ ser nuestro múltiple. Dejar $g$ sea una métrica riemanniana en $M$ . Dejar $S_g$ denota la energía funcional (que anotaste) usando la métrica $g$ . Es decir, deja $\gamma: [0, 1] \to M$ ser una curva suave,

S_{gramo} [γ] \equiv \int_{[0, 1]} {gramo}_{γ (t)} (γ^{'} (τ), γ^{'} (τ)) d τ

$S_g[\gamma] \equiv \int_{[0, 1]} g_{\gamma(t)}(\gamma'(\tau), \gamma'(\tau))d\tau$

Encontraste (al calcular en coordenadas locales) que esto es invariante bajo un difeomorfismo $\phi: M \to M$ . Esta declaración dice

\int_{[0, 1]} {gramo}_{γ (t)} (γ^{'} (τ), γ^{'} (τ)) d τ = \int_{[0, 1]} {gramo}_{ϕ \circ γ (t)} (ϕ_{*} γ^{'} (τ), ϕ_{*} γ^{'} (τ)) d τ

$\int_{[0, 1]} g_{\gamma(t)}(\gamma'(\tau), \gamma'(\tau))d\tau=\int_{[0, 1]} g_{\phi \circ\gamma(t)}(\phi_*\gamma'(\tau), \phi_*\gamma'(\tau))d\tau$

RHS se puede reescribir en términos de la métrica de retroceso

\int_{[0, 1]} {gramo}_{ϕ \circ γ (t)} (ϕ_{*} γ^{'} (τ), ϕ_{*} γ^{'} (τ)) d τ = \int_{[0, 1]} ϕ^{*} {gramo}_{ϕ \circ γ (t)} (γ^{'} (τ), γ^{'} (τ)) d τ

$\int_{[0, 1]} g_{\phi \circ\gamma(t)}(\phi_*\gamma'(\tau), \phi_*\gamma'(\tau))d\tau = \int_{[0, 1]} \phi^*g_{\phi \circ \gamma(t)}(\gamma'(\tau), \gamma'(\tau))d\tau$

Comparando con nuestra definición de $S_g$ , lo que has mostrado es

S_{gramo} [γ] = S_{ϕ^{*} gramo} [ϕ \circ γ]

$S_g [\gamma]= S_{\phi^*g}[\phi \circ \gamma]$

En particular, esto implica, para el caso especial de que tenga una curva $\gamma$ que minimiza $S_g$ dentro de una familia variacional de curvas:

γ minimiza S_{gramo} ⟹ ϕ \circ γ minimiza S_{ϕ^{*} gramo}

$\text{ $\gamma$ minimizes $S_g$ } \implies \text{ $\phi\circ\gamma$ minimizes $S_{\phi^*g}$}$

Observe que esto no significa $\phi \circ \gamma$ es una geodésica para la métrica $g$ . esto dice $\phi \circ \gamma$ es una geodésica para la (en general, diferente) métrica $\phi^*g$ . Por lo tanto, un difeomorfismo general no asigna geodésicas a geodésicas.

¡Las isometrías sí!

Ahora observe que hay un caso especial cuando $\gamma$ en realidad se asigna a una geodésica de $g$ . Es decir, cuando tenemos

ϕ^{*} gramo = gramo ⟹ S_{gramo} = S_{ϕ^{*} gramo}

$\phi^*g = g \implies S_g = S_{\phi^*g}$

Y la implicación anterior se convierte en

γ minimiza S_{gramo} ⟹ ϕ \circ γ minimiza S_{gramo}

$\text{ $\gamma$ minimizes $S_g$ } \implies \text{ $\phi\circ\gamma$ minimizes $S_{g}$}$

Observar la condición $\phi^*g = g$ es exactamente la afirmación de que $\phi$ es una isometría.

Invariancia de difeomorfismo y acción geodésica

Wooster

una mente curiosa

una mente curiosa

Wooster

Wooster

Respuestas (1)

zzz

¿En qué se diferencian físicamente la métrica FRW y la métrica Minkowski?

Interpretación de Coordenadas Normales

6 ecuaciones de campo de Einstein independientes?

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Construyendo vielbein a partir de una métrica dada: ejemplo: coordenadas esféricas 2D

Símbolo de Christoffel en el marco inercial local

Punto de vista geométrico de las restricciones armónicas (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) en Relatividad General

Grado de libertad de coordenadas para establecer componentes métricos a lo largo de una ruta de espacio-tiempo