acción de poliakov

La clave aquí es distinguir entre dos variedades diferentes. Tenemos$M$tomado como espacio-tiempo, y dentro de esta multiplicidad$M$, imaginamos una cuerda propagándose que barre una superficie$\Sigma \subset M$.

Las funciones de incrustación de$\Sigma$son$X^\mu(\tau,\sigma)$que llevan un$\mu$índice sobre el espacio-tiempo pero son funciones de coordenadas definidas para$\Sigma$tratado como un múltiple por derecho propio.

La acción de Polyakov es,

$$S \sim \int d^2 \sigma \, \sqrt{-h}\, h^{ab} g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$$

dónde$h_{ab}$es la métrica inducida en la superficie$\Sigma$, y$g_{\mu\nu}$es la métrica de$M$, por lo tanto contratado con$X^\mu$y$X^\nu$que llevan índices espacio-temporales.

Así, si tengo algún objeto digo$P^a$que lleva un índice worldsheet$a$, reducir$a$en$P^a$, uno usaría la métrica en$\Sigma$y por lo tanto$P_a = h_{ab}P^b$. Asimismo,$M$los índices suben y bajan con$g_{\mu\nu}$.

---

una sutileza

Ahora puede pensar que si estamos haciendo una operación que lleva un índice de espacio-tiempo, entonces lo estamos haciendo con respecto a la variedad$M$, Pero este no es necesariamente el caso.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una subvariedad$\Sigma \subset M$incrustado en$M$. Podemos definir una derivada covariante,$\nabla_\mu$lo que pensaría que significa diferenciación covariante ordinaria wrt$g_{\mu\nu}$.

Sin embargo, este no tiene por qué ser el caso. En general,$\Sigma$hereda dos métricas esencialmente equivalentes de$M$, la métrica inducida$\gamma_{ab}$calculado normalmente a partir de la incrustación y la primera forma fundamental,$^\dagger$

$$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} \pm n_\mu n_\nu$$

que es una especie de proyección de la métrica sobre$M$; aquí$n_\mu$es el vector normal. De este modo,$\nabla_\mu$podría significar diferenciación covariante en$\Sigma$a pesar de que lleva un índice de espacio-tiempo, si wrt$h_{\mu\nu}$.

Por lo general, ambigüedades como estas se aclaran en la mayoría de las fuentes, y gran parte de la maquinaria de la geometría diferencial de las subvariedades no se necesita en los textos introductorios de teoría de cuerdas.

---

$\dagger$Aquí$h_{\mu\nu}$no debe confundirse con$h_{ab}$. elegí$h$simplemente porque la primera forma fundamental normalmente siempre se nombra$h$. Nota$\gamma_{ab}$aquí está la misma métrica que aparece en la acción Nambu-Goto.

De hecho, hay dos métricas y habrá dos conjuntos de índices asociados a los tensores en la hoja del mundo: uno para la hoja del mundo y otro para el espacio de destino. Por ejemplo,$X^{\mu}(\tau, \sigma)$no lleva índices de hoja mundial pero lleva índice de espacio de destino$\mu$, por lo que uno debe bajar o subir$\mu$por la métrica del espacio de destino. Por otro lado,$\partial_aX^{\mu}$lleva ambos índices de espacio de destino$\mu$, e índice mundial de hojas$a$. Entonces uno debe bajar/subir$a$por hoja mundial métrica y bajar/aumentar$\mu$por métrica de espacio de destino.

También se puede decir esto en el lenguaje de los tensores que son mapas multilineales, pero no estoy seguro de que sea más útil para esta pregunta.