Diagrama de cuerpo libre de bloque sobre cuña aceleradora

En lugar de responder a sus preguntas individuales, les daré una descripción general y luego discutiré algunos de los puntos que han planteado.
Hay muchas formas de abordar este tipo de problemas, pero dibujar algunos FBD junto con algunos ejes de coordenadas siempre es un buen comienzo.

Usaré el marco de referencia del laboratorio ya que tal vez entonces sea más fácil describir lo que uno ve desde ese marco de referencia y asumiré además que no hay fricción y que todo parte del reposo.
La otra suposición importante para la primera parte del análisis es que el bloque y la cuña permanecen en contacto entre sí. Entonces se puede aplicar la segunda ley de Newton, que producirá ecuaciones con las aceleraciones vertical y horizontal del bloque,$z$y$x$, la aceleración horizontal de la cuña$X$y la reacción normal entre el bloque y la cuña$N$como las cuatro incógnitas.
El problema es que la aplicación de la segunda ley de Newton solo produce tres ecuaciones.

Como ocurre con muchos problemas de mecánica, la cuarta ecuación proviene de la geometría del sistema.
El bloque se mantiene en contacto con la cuña y, en relación con la cuña, se desliza hacia abajo en ángulo.$\theta$.
Es decir, si te sientas en la cuña, verás que el bloque acelera hacia abajo pero permanece en contacto. La aceleración hacia abajo de la cuña relativa al bloque es$z$(la cuña no tiene movimiento hacia abajo ya que se supone que la mesa no se puede mover) y la aceleración horizontal del bloque con respecto a la cuña es$x-X$.

Los diagramas de vectores de aceleración se ven así:

da la cuarta ecuacion$\tan \theta = \dfrac{z}{x-X}$

Espero que esto sea suficiente para responder a todas sus preguntas.

La cuña tiene que ir a la izquierda y el bloque a la derecha. Esto debe ser así porque la fuerza horizontal neta sobre el sistema bloque-cuña es cero y, por lo tanto, el centro de masa del sistema no se mueve.
Usando esta idea, se puede obtener una ecuación que vincule la aceleración horizontal del bloque$x$y el de la cuña$X$directamente;$(m_1\;x + m_2 \; X = 0 +0 \Rightarrow X = - \dfrac {m_1\; x}{m_2}$.

Si por alguna razón la aceleración de la cuña hacia la izquierda es mayor que$X$en el ejemplo anterior, por ejemplo, debido a una fuerza horizontal externa sobre la cuña que actúa hacia la izquierda, la situación se vuelve más complicada.
Suponga que la fuerza es tal que la aceleración horizontal de la cuña hacia la izquierda permanece constante con una magnitud$Y$.

La fuerza normal entre la cuña y el bloque disminuirá, por lo que la aceleración hacia abajo del bloque$z$aumentará mientras que su aceleración horizontal del bloque 4$x$disminuirá pero seguirá estando en contacto con la cuña.
En el diagrama de aceleración recordando que debido a que la aceleración de la cuña es hacia la izquierda la magnitud de$x-Y$aumentará al igual que la magnitud de$z$para asegurarse de que el bloque permanezca en contacto con la cuña.
Entonces, si te sientas en la cuña, verás que el bloque permanece en contacto con la cuña pero con una mayor aceleración hacia abajo que antes.
Sentado en el marco del laboratorio, nuevamente verá la cuña acelerando más rápido hacia abajo pero con una trayectoria cuyo ángulo con la horizontal es mayor que el ángulo de la cuña.$\theta$.

El caso límite se alcanza cuando la aceleración hacia abajo del bloque es$g (= z)$y su aceleracion horizontal$x$es cero

Así que en este caso límite$\tan \theta = \dfrac{g}{(-)Y}$

Cualquier aumento adicional en la aceleración horizontal de la cuña hacia la izquierda dará como resultado que el bloque pierda contacto con la cuña y experimente una caída libre.

No estoy del todo seguro acerca de la última parte del análisis, pero la aceleración limitante$Y$fórmula parece predecir lo que uno podría esperar.
como el ángulo$\theta$se hace cada vez más pequeño para mantener justo en contacto con el bloque la aceleración horizontal de la cuña$Y$tiene que hacerse más y más grande mientras que el ángulo$\theta$tiende hacia$90 ^\circ$la aceleración de la cuña$Y$tiene que hacerse cada vez más pequeño.

Me doy cuenta de que estás preguntando por Un bloque en una cuña . Este problema es más difícil de lo que parece, incluso sin fricción.

El movimiento es fácil de predecir. La cuña se mueve a la izquierda, el bloque se mueve hacia abajo y hacia la derecha. Horizontalmente hay conservación del momento, por lo que la posición horizontal del Centro de Masa no se mueve. Si quisieras resolver este problema, probablemente sea más fácil usar la conservación de la energía y el momento, en lugar de la fuerza y ​​la aceleración. Véase El bloque se desliza sobre una cuña triangular lisa que se mantiene sobre un suelo liso. Encuentre la velocidad de la cuña cuando el bloque llega al fondo .

Desde el marco de referencia del suelo, la trayectoria del bloque es un plano inclinado con un ángulo$\theta' > \theta$que depende de la proporción de$m_2/m_1$. Por ejemplo, si$m_1>>m_2$luego la cuña acelera muy rápido hacia la izquierda y el bloque$m_1$cae verticalmente hacia abajo en$\theta' \approx 90^{\circ}$; si$m_1<<m_2$entonces la cuña no se mueve y el bloque se desliza por la pendiente en$\theta' \approx \theta$.

Puede ayudar a resolver la aceleración del bloque en componentes x e y. Entonces$m_2a_2=m_1a_x$. Tenga en cuenta que las ecuaciones establecidas por xylong97 son incorrectas.

El problema se aborda en muchas páginas web y algunos videos. Por ejemplo: un problema de movimiento relativo restringido .

¿Veré que el bloque permanezca en la cuña y acelere junto con él [...]

Absolutamente no , ya que no hay nada (ninguna fuerza) para tirar del bloque junto con la pendiente.

Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque y solo verá la fuerza normal $\vec n$y peso $\vec w$. Su suma nunca puede apuntar a la izquierda.

[...] o lo veré bajar por el plano inclinado, que a su vez se mueve hacia la izquierda?

si _ A menos que la pendiente se aleje más rápido de lo que puede caer el bloque (en cuyo caso, naturalmente, no sigue la superficie de la pendiente).

[...] la cuña está acelerando "hacia abajo del plano inclinado con aceleración$a$wrt la cuña". [...] si tuviera que observar el bloque desde el suelo, ¿cómo me parecería su movimiento?

• El caso extremo : si la pendiente se detiene, el bloque sentirá la máxima fuerza normal$\vec n$. Se desliza hacia abajo en ángulo$\theta$.
• El otro caso extremo : si la pendiente se mueve hacia la izquierda extremadamente rápido, más rápido de lo que puede caer el bloque, entonces$\vec n$se convierte en cero. El bloque cae directamente hacia abajo en$90^\circ$como si la pendiente no estuviera allí.
• El caso intermedio : si la pendiente se mueve hacia la izquierda no demasiado rápido,$\vec n$es menor (pero no cero). El bloque se desliza hacia abajo por la pendiente pero en un ángulo más angosto (más grande) que$\theta$(pero no verticalmente en$90^\circ$), ya que la pendiente se aleja debajo de ella simultáneamente.

[...] al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un bloque que se dice que "desciende por un plano inclinado", ¿en qué dirección debo asumir su aceleración? ¿Directamente hacia abajo oa lo largo del plano?

Según la segunda ley de Newton$\sum \vec F=m\vec a$, la aceleración$\vec a$tiene la misma dirección que la fuerza resultante$\sum \vec F$. Entonces, al dibujar el diagrama de cuerpo libre (que aún solo contiene$\vec w$y$\vec n$), su suma apuntará a lo largo de la aceleración.

En los tres casos mencionados anteriormente, esta fuerza resultante cambiará de dirección, de acuerdo con la rapidez con que la pendiente se mueva hacia la izquierda, porque$\vec n$Es afectado. Entonces, la fuerza resultante y la aceleración apuntarán más y más verticalmente hacia abajo, cuanto más rápido se mueva la pendiente.

En cuarto lugar, si dado que el bloque no "desliza sobre la cuña", ¿cuál es la condición para utilizarlo?

Para evitar que la caja se deslice sobre la cuña, debemos evitar que se deslice sobre la parte superior, lo que significa que debemos evitar que comience a deslizarse en primer lugar. Entonces, ¡la condición sería que los dos objetos se movieran por igual! Es decir, que tengan la misma aceleración para que ninguno se “deje caer” por detrás.