Trabajo realizado por fuerzas de restricción -- Generalización

¿Podemos afirmar (en general) que el trabajo realizado por las fuerzas de restricción en un sistema es siempre cero?

No podemos, no es cierto para una gran clase de restricciones.

Contraejemplo 1. Restricciones no holonómicas.

Estas son restricciones que dependen de algo más que posiciones y tiempo, como

$$f(x_i, \dot{x_i}, t) ~=~ 0$$ Así que aquí hay un contraejemplo simple, supongamos que la restricción es $$x - \dot{x}~=~0,$$ para una partícula en una dimensión sin otras fuerzas presentes. Luego acelerará alejándose del origen, lo que significa que la fuerza de restricción está haciendo trabajo.

Contraejemplo 2. Restricciones dependientes del tiempo.

Supongamos, por ejemplo, que la restricción es

$$x_1 - x_2 = t^2$$ para dos partículas en una dimensión sin otras fuerzas presentes. Luego, las partículas acelerarán alejándose unas de otras, por lo que la fuerza de restricción está haciendo trabajo.

Las restricciones holonómicas independientes del tiempo no funcionan.

Estas son restricciones "normales", que solo dependen de las posiciones, como varillas rígidas sin masa que imponen distancias, planos inclinados sin fricción, etc. Podemos ver que no realizan trabajo de varias maneras.

Una forma es notar que podemos tomar la restricción como impuesta por una fuerza conservativa, con potencial 0 para las posiciones permitidas e infinito para las no permitidas. Entonces, si el sistema se mueve de una configuración permitida a otra, el trabajo realizado por esa fuerza es igual a menos el cambio de potencial, que es cero.

Según The Feynman Lectures on Physics:

En movimiento con una restricción fija sin fricción, la restricción no realiza ningún trabajo porque las fuerzas de la restricción siempre forman ángulos rectos con el movimiento. Por "fuerzas de restricción" nos referimos a aquellas fuerzas que se aplican al objeto directamente por la restricción misma: la fuerza de contacto con la pista o la tensión en la cuerda.

Entonces, supongo que eso elimina todas las fuerzas de restricción sin fricción. (Cuando se considera desde un marco de referencia apropiado) Todavía puede preguntarse por qué la fuerza de restricción es perpendicular al cuerpo sobre el que actúa y es porque la superficie es 'sin fricción' . Porque la fricción es esencialmente la componente tangencial de la fuerza de restricción que actúa sobre el cuerpo y cuando decimos que la fricción está ausente, decimos que la componente tangencial es cero.

Ahora, en caso de que haya fricción (habitual en el mundo real), si disipa energía en forma de calor, etc., entonces el trabajo realizado por la fuerza de restricción es claramente distinto de cero. Esto es lo que suele suceder en escenarios de la vida real (p. ej., fuerzas de bisagra que son una forma de restricción). Sin embargo, incluso si la fricción no disipa el calor (improbable), el trabajo realizado por ella resultará ser cero si consideramos el sistema completo sobre el que actúa la fuerza. Esto es solo una consecuencia de la Tercera Ley de Newton. Pero normalmente esto no está muy claro. Por ejemplo, cuando consideramos un bloque deslizándose sobre una superficie, tomamos el suelo como un cuerpo con masa infinita y despreciamos el trabajo realizado sobre él.

El trabajo realizado se define por

$$W = Fd$$

Entonces, como puede ver, si una fuerza no causa ningún desplazamiento, el trabajo realizado por esa fuerza es 0. La definición de una fuerza de restricción es que es una fuerza que determina la trayectoria de un objeto cuando se aplica otra fuerza, pero no provoca desplazamiento. Sin embargo, dado que determina la ruta, esto significa que puede cambiar la dirección del desplazamiento, incluso si no puede causarlo. El desplazamiento implica dirección y distancia. Eso significa que para que una fuerza de restricción haga 0 trabajo, debe actuar perpendicularmente a la dirección del desplazamiento.

En términos de vectores, lo que está causando el desplazamiento y por lo tanto el trabajo es la fuerza neta que es paralela a la dirección del desplazamiento. Entonces, todo se reduce a esto: ¿la fuerza de restricción siempre funciona perpendicular a la dirección del desplazamiento? La respuesta es: no necesariamente. Depende de en qué dirección consideres que se debe realizar el trabajo. Si la restricción tiene un componente paralelo a la dirección del trabajo realizado, entonces está realizando un trabajo distinto de 0, que puede ser tanto positivo como negativo. Si es perpendicular a la dirección del trabajo realizado, entonces es 0.

Por ejemplo, en su primer escenario, que realmente no puedo entender del diagrama, pero consideremos una pelota que cuelga de una cuerda. Si empujas la pelota en una dirección paralela al suelo, la fuerza de restricción hará que siga una trayectoria circular. Ahora la pregunta es, ¿en qué dirección considerarás el desplazamiento? Si considera que es la trayectoria circular, entonces la tensión siempre será perpendicular al desplazamiento y, por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza de restricción será 0. Sin embargo, si observa, la trayectoria circular es un cambio constante en la dirección y, por lo tanto, no es un desplazamiento. en una dirección fija. Entonces, consideremos otra forma de ver el mismo escenario. ¿Qué pasaría si consideráramos que el desplazamiento es paralelo a la fuerza primaria, que es perpendicular a la cuerda y paralela al suelo? Luego, después de empujar la pelota, cuando la pelota se desplaza a lo largo de la trayectoria circular, su trayectoria ya no es paralela a la dirección de la fuerza primaria, la tensión de la cuerda hará que se mueva ligeramente hacia arriba y también tendrá una ligera componente paralela pero opuesta a la dirección de la fuerza primaria. Entonces, la tensión hará algo de trabajo, y el valor cambiará según la dirección en la que consideres el desplazamiento y la distancia a la que empujes la bola. Si considera que el desplazamiento es 'hacia arriba', la tensión tendrá un trabajo positivo realizado, y si considera que es paralelo a la fuerza primaria, será negativo. Además, ni siquiera estamos considerando la elasticidad de la cuerda, que también puede tenerse en cuenta en el trabajo realizado por las fuerzas de restricción. Entonces, la respuesta es que el trabajo realizado por una fuerza de restricción suele ser 0, pero no necesariamente, dependiendo de la dirección del desplazamiento que elijas. Pero calcular el trabajo realizado considerando que la dirección del desplazamiento es perpendicular a la fuerza de restricción suele ser el valor más significativo y útil, y eso es lo que se suele hacer.

De acuerdo con el principio de D'Alembert, las fuerzas de restricción no afectan el movimiento del sistema, para verlo, debe generar la ecuación de movimiento con coordenadas generalizadas.

tu ejemplo

El vector de posición a la masa.

$$\vec R_m= \left[ \begin {array}{c} x_{{A}} \left( t \right) +L\sin \left( \varphi \right) \\L\cos \left( \varphi \right) \end {array} \right]$$

la velocidad es

$$\vec v=\vec{\dot{R}}_m=\underbrace{\frac{\partial \vec R}{\partial \varphi}}_{J}\,\dot{\varphi}+\frac{\partial }{\partial t}\vec{R}$$

$$J= L\,\left[ \begin {array}{c} \cos \left( \varphi \right) \\ -\sin \left( \varphi \right) \end {array} \right]$$

y la fuerza de tensión es:

$$\vec T=T\,\vec{\hat e}_L=T\, \begin{bmatrix} \sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ \end{bmatrix}$$

de ahí el principio de D'Alembert.

$$J^T\,\vec{T}=0~\surd$$

las MOE de Newton

$$m\,J^T\,J\,\ddot{\varphi}=J^T\left(\vec F_u-m\,\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\vec R\right)+\underbrace{J^T\,\vec T}_{=0}$$ dónde

$$\vec F_u= \begin{bmatrix} 0 \\ -m\,g \\ \end{bmatrix}$$

$${L}^{2}\ddot\varphi +g\,L\sin \left( \varphi \right) + \left( { \frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x_{{A}} \left(t \right) \right) L\cos \left( \varphi \right) =0$$

el diagrama de cuerpo libre muestra que la fuerza de restricción$F_{cx}=T\,\sin(\varphi)$es una fuerza interna, solo la fuerza externa (fuerza aplicada) puede hacer trabajo

$$W=F_{cx}\,x_A(t)-F_{cx}\,x_A(t)=0~\surd$$

¿Podemos afirmar que el trabajo realizado por las fuerzas de restricción en un sistema es siempre cero?