Variante de serie alterna de una serie convergente

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Variante de serie alterna de una serie convergente

cálculo
Matemáticas
convergencia-absoluta
secuencias y series
convergencia divergencia

ElectronicGek

Estoy tratando de probar si la siguiente serie es convergente, divergente o si no hay suficiente información.

Si la serie ∑ an _es convergente y tiene términos positivos, ¿cuál es la serie de abajo?

\sum (- 1)^{norte} a_{norte}

$\sum{(-1)^na_n}$

Sé que la serie a_n es absolutamente convergente, por lo que la alterna debería ser convergente, pero no estoy seguro de cómo probarlo. El límite de a n _cuando n tiende a infinito es 0, por lo que a _n debería disminuir eventualmente, por lo que debe ser convergente por la prueba de series alternas.

Snufsan

El teorema de Leibnitz prueba que

david mitra

Usar

| \sum_{n = k}^{k + m} (- 1)^{n} a_{n} | \leq \sum_{n = k}^{k + m} | a_{n} |

$\Bigl|\sum_{n=k}^{k+m} (-1)^n a_n\Bigr|\le \sum_{n=k}^{k+m}|a_n|$ .

ElectronicGek

Gracias, David, ¡eso funciona!

Respuestas (2)

Variante de serie alterna de una serie convergente

Usar $\Bigl|\sum_{n=k}^{k+m} (-1)^n a_n\Bigr|\le \sum_{n=k}^{k+m}|a_n|$ .

gato m · Answer 1

La regla general es que si $\sum|x_n|$ converge, entonces $\sum x_n$ converge Esta es una aplicación simple de ese hecho.

André Nicolás · Answer 2

Por la convergencia de $\sum_0^\infty a_k$ , la secuencia $(s_n)$ , dónde $s_n=\sum_0^n (-1)^k a_k$ es una sucesión de Cauchy.

prueba: si $m\lt n$ , entonces $|s_n-s_m|\le a_{m+1}+\cdots +a_n$ .

No he estudiado las secuencias de Cauchy, ¿hay otra forma de hacerlo?
@ElectronicGeek Si conoce la convergencia absoluta, debería haber estudiado las secuencias de Cauchy, ya que generalmente son las que usa para demostrar que la convergencia absoluta implica convergencia.

Variante de serie alterna de una serie convergente

ElectronicGek

Snufsan

david mitra

ElectronicGek

Respuestas (2)

gato m

André Nicolás

ElectronicGek

gato m

André Nicolás

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

¿Es la serie ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolutamente convergente, convergente o divergente?

Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia de una serie infinita particular

Convergencia paramétrica de series infinitas

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?