Determine si la serie converge absoluta, condicionalmente o diverge.

Question

Determine si la serie converge absoluta, condicionalmente o diverge.

Matemáticas
análisis real
convergencia-absoluta
secuencias y series
convergencia divergencia
convergencia condicional

Todd Jones

Determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge. Encuentre el valor exacto para la suma de la serie convergente.

1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} - \frac{1}{5^{4}} - \frac{1}{5^{5}} + \frac{1}{5^{6}} - \frac{1}{5^{7}} - \frac{1}{5^{8}} . . .

$1-\frac{1}{5} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{5^4} - \frac{1}{5^5} + \frac{1}{5^6} - \frac{1}{5^7} - \frac{1}{5^8} ...$ No tengo ni idea de por dónde empezar. Intenté usar la prueba de comparación comparando esta serie con la serie con la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 2

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}= 2$ pero eso solo me dice que esta es una serie convergente, no a qué valor converge o si es absolutamente convergente o convergente condicional. Cualquier consejo y sugerencias sobre cómo resolver este problema y este tipo de en general sería muy apreciado. Gracias de antemano :)

tzndls

Ya es absolutamente convergente por la prueba de comparación. ¿ Conoces la Serie Geométrica ?

zkutch

en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

Respuestas (1)

Determine si la serie converge absoluta, condicionalmente o diverge.

Ya es absolutamente convergente por la prueba de comparación. ¿ Conoces la Serie Geométrica ?

GuPe · Answer 1

Esto converge absolutamente si se compara con la serie geométrica con $r = 1/5$ . Más específicamente, es menos que

\sum_{i \geq 0} (1 / 5)^{i} = \frac{1}{1 - 1 / 5}

$\sum_{i \ge 0} (1/5)^i = \frac {1}{1-1/5}$

Guau. No puedo creer que no había considerado la serie geométrica. Ha sido una noche larga. Muchas gracias a todos los que respondieron
@ToddJones Para encontrar el valor de la serie, tenga en cuenta que su serie original también es una serie geométrica, con $r=-1/5$ (y con toda la serie multiplicada por $-1$ ).
@Clement: No creo que sea del todo correcto. La serie siempre tiene un término positivo y dos negativos. Así que supongo que uno necesita restar dos series geométricas entre sí (o algo similar).
@PhoemueX ay, mi mal, leí mal la serie del OP. Pensé que los signos se alternaban...

Determine si la serie converge absoluta, condicionalmente o diverge.

Todd Jones

tzndls

zkutch

Respuestas (1)

GuPe

Todd Jones

clemente c

PhoemueX

clemente c

Determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

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