¿Es la serie ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolutamente convergente, convergente o divergente?

Question

¿Es la serie ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolutamente convergente, convergente o divergente?

cálculo
Matemáticas
convergencia-absoluta
secuencias y series
convergencia divergencia

Zain

¿Esta serie es absolutamente convergente, convergente o divergente?
$\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte}}{2 norte + pecado (norte)}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+\sin(n)}$

¿Cómo mostraríamos que esto es convergente? ¿Prueba alterna? ¿Prueba de comparación de límites?

primero lo hice

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{2 norte + pecado (norte)}

$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{2n+\sin(n)}$ que es igual a cero y

b_{n + 1} < b_{n}

$b_{n+1} < b_{n}$ . Entonces sabemos que es convergente.

Luego de probar la convergencia absoluta, hice una prueba de comparación de límites.

\sum_{norte = 1}^{\infty} | \frac{(- 1)^{norte}}{2 norte + pecado (norte)} | = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{2 norte + pecado (norte)} .

$\sum_{n=1}^\infty \bigg|\frac{(-1)^n}{2n+\sin(n)}\bigg| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+\sin(n)}\text{ .}$

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1 / (2 norte + pecado (norte))}{1 / norte} = 1 / 2

$\lim_{n\to\infty} \frac{1/(2n+\sin(n))}{1/n} = 1/2$

que es mayor que cero y como $1/n$ diverge, entonces también lo hace $1/(2n+\sin(n))$ . Por lo tanto

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte}}{2 norte + pecado (norte)}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+\sin(n)}$ es condicionalmente convergente.

Arturo Magidín

Utilice MathJax para escribir matemáticas. Aquí hay un tutorial .

vb628

Hay una edición en la cola de revisión.

Zain

gracias por la edición

GEdgar

Por qué

b_{n + 1} < b_{n}

$b_{n+1} < b_n$ ? xpaul explica en su respuesta.

Respuestas (2)

¿Es la serie ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolutamente convergente, convergente o divergente?

Utilice MathJax para escribir matemáticas. Aquí hay un tutorial .

pablo · Answer 1

Dejar

a_{norte} = \frac{1}{2 norte + pecado (norte)} .

$a_n=\frac{1}{2n+\sin(n)}.$ Claramente

a_{n} > 0

$a_n>0$ y

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

$\lim_{n\to\infty}a_n=0$ . Desde

2 (norte + 1) + pecado (norte + 1) - (2 norte + pecado (norte)) = 2 + (pecado (norte + 1) - pecado (norte)) \geq 0,

$2(n+1)+\sin(n+1)-(2n+\sin(n))=2+(\sin(n+1)-\sin(n))\ge0,$ uno tiene

2 (norte + 1) + pecado (norte + 1) \geq 2 norte + pecado (norte)

$2(n+1)+\sin(n+1)\ge2n+\sin(n)$ o

a_{norte + 1} = \frac{1}{2 (norte + 1) + pecado (norte + 1)} \leq \frac{1}{2 norte + pecado (norte)} = a_{norte} .

$a_{n+1}=\frac1{2(n+1)+\sin(n+1)}\le\frac1{2n+\sin(n)}=a_n.$ Entonces

{a_{n}}

$\{a_n\}$ está disminuyendo. por la AST,

\sum_{n = 1} (- 1)^{n} a_{n}

$\sum_{n=1}(-1)^na_n$ converge Desde

a_{norte} = \frac{1}{2 norte + pecado (norte)} \sim \frac{1}{2 norte}

$a_n=\frac{1}{2n+\sin(n)} \sim\frac{1}{2n}$ y

\sum \frac{1}{2 n}

$\sum\frac{1}{2n}$ diverge, uno concluye

\sum_{n = 1} (- 1)^{n} a_{n}

$\sum_{n=1}(-1)^na_n$ converge condicionalmente.

Para probar la convergencia absoluta o la convergencia condicional, ¿qué haríamos? Las pruebas Ratio y Root no funcionan en este caso.
Es mejor utilizar la prueba de comparación de proporciones.

usuario65203 · Answer 2

Para grande $n$ , el término $\sin n$ se vuelve despreciable y terminas con una serie armónica alterna. (O puede apretar con

\frac{1}{2 (norte + 1)} < \frac{1}{2 norte + pecado norte} < \frac{1}{2 (norte - 1)} .)

$\frac1{2(n+1)}<\frac1{2n+\sin n}<\frac1{2(n-1)}.)$

Se sabe que la serie armónica es convergente pero no absolutamente.

¿Es la serie ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolutamente convergente, convergente o divergente?

Zain

Arturo Magidín

vb628

Zain

GEdgar

Respuestas (2)

pablo

Zain

pablo

usuario65203

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

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