Determine si la serie ∑+∞n=1(−1)n((n−1)!!)2n!∑n=1+∞(−1)n((n−1)!!)2n!\sum \nolimits_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n ((n - 1)!!)^2}{n!} converge absolutamente, condicionalmente o diverge

Según el título, estoy tratando de encontrar si la serie

∑ norte = 1 + ∞ ( − 1 ) norte ( ( norte − 1 ) ! ! ) 2 norte !
converge absolutamente, condicionalmente o diverge. El “ ! ! ” es la función factorial doble . Traté de usar el hecho de que norte ! = norte ! ! ⋅ ( norte − 1 ) ! ! para simplificar la expresión a ∑ norte = 1 + ∞ ( − 1 ) norte ( norte − 1 ) ! ! norte ! ! , pero no ayudó mucho.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

¿Calculaste la razón de dos coeficientes sucesivos? ¿Que encontraste?
La prueba de la razón para la convergencia absoluta arrojó límite norte → + ∞ ( norte ! ! ) 2 ( norte + 1 ) ⋅ ( ( norte − 1 ) ! ! ) 2 , que tampoco pude resolver.

Respuestas (1)

Dejar a norte = ( norte − 1 ) ! ! norte ! ! . usando las identidades ( 2 norte − 1 ) ! ! ⋅ ( 2 norte ) ! ! = ( 2 norte ) ! y ( 2 norte ) ! ! = 2 norte ⋅ norte ! , uno obtiene a 2 norte = ( 2 norte − 1 ) ! ! ( 2 norte ) ! ! = ( 2 norte ) ! 4 norte ⋅ ( norte ! ) 2 por lo tanto, la fórmula de Stirling produce a 2 norte ∼ 1 π norte . Por otro lado, a 2 norte + 1 = ( 2 norte ) ! ! ( 2 norte + 1 ) ! ! = 1 2 norte + 1 ⋅ 1 a 2 norte por eso a 2 norte + 1 ∼ π 2 norte . De este modo, a 2 norte − a 2 norte − 1 ∼ − C norte con C = π − 2 2 π > 0 de ahí la serie ∑ norte ( − 1 ) norte a norte diverge y límite norte → ∞ ∑ norte = 1 norte ( − 1 ) norte a norte = − ∞ .

Gracias. Afortunadamente, estoy algo familiarizado con las fórmulas asintóticas, así que esto tiene sentido para mí. Sin embargo, ¿habría alguna manera de mostrar lo mismo sin usar ese enfoque?
Determine si la serie ∑+∞n=1(−1)n((n−1)!!)2n!∑n=1+∞(−1)n((n−1)!!)2n!\sum \nolimits_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n ((n - 1)!!)^2}{n!} converge absolutamente, condicionalmente o diverge
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