¿Por qué esta serie no converge absolutamente? ¿Es uniformemente convergente?

Question

¿Por qué esta serie no converge absolutamente? ¿Es uniformemente convergente?

Matemáticas
análisis real
convergencia uniforme
convergencia-absoluta
secuencias y series

Nour

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}}$

¿Por qué no converge absolutamente? Sé que converge puntualmente mediante la prueba de series alternas.

Para convergencia uniforme:

Traté de aproximarme $|R_n(x)|$ y consiguió :

$|R_n(x)| \leq \frac{1}{x^2+\sqrt{n+1}}$ que va a $0$ , entonces $\|R_n\|_\infty \longrightarrow 0$ . Por tanto, la serie converge uniformemente. ¿Es esto correcto? ¿Y qué hay de la convergencia absoluta, por favor?

Andrew D Hwang

Si estuviera calificando este argumento, me gustaría ver un límite superior independiente de

x

$x$ para sentir que se había justificado la "convergencia uniforme". :) Para la convergencia absoluta, arreglar

x

$x$ y piensa en qué tan rápido (o lento)

\frac{1}{x^{2} + \sqrt{k}}

$\frac{1}{x^{2} + \sqrt{k}}$ decae como

k \to \infty

$k \to \infty$ .

zhw.

Tu quieres decir

| R_{n} (x) | \leq \frac{1}{x^{2} + \sqrt{n + 1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \to 0.

$|R_n(x)| \leq \frac{1}{x^2+\sqrt{n+1}}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \to 0.$

Nour

pero si sigo

x^{2}

$x^2$ término, ¿dónde está el problema? La desigualdad sigue siendo válida para cualquier x.

zhw.

Quieres un límite independiente de

x

$x$

Respuestas (1)

¿Por qué esta serie no converge absolutamente? ¿Es uniformemente convergente?

Si estuviera calificando este argumento, me gustaría ver un límite superior independiente de $x$ para sentir que se había justificado la "convergencia uniforme". :) Para la convergencia absoluta, arreglar $x$ y piensa en qué tan rápido (o lento) $\frac{1}{x^{2} + \sqrt{k}}$ decae como $k \to \infty$ .
Tu quieres decir $|R_n(x)| \leq \frac{1}{x^2+\sqrt{n+1}}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \to 0.$
pero si sigo $x^2$ término, ¿dónde está el problema? La desigualdad sigue siendo válida para cualquier x.

DanielWainfleet · Answer 1

Convergencia no absoluta: Para todos los suficientemente grandes $k$ tenemos $x^2+\sqrt k\;<2\sqrt k\;....$ Así que para todos menos un número finito $k$ tenemos

| \frac{(- 1)^{k + 1}}{X^{2} + \sqrt{k}} | > \frac{1}{2 \sqrt{k}} .

$\left|\frac {(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt k\;}\right|>\frac {1}{2\sqrt k}\;.$ Y

\sum_{k} \frac{1}{2 \sqrt{k}}

$\sum_k\frac {1}{2\sqrt k}$ diverge

Dejar $f_n(x)=\sum_{j=1}^n(-1)^{j+1}/(x^2+\sqrt k\;)$ y $f(x)=\lim_{n\to \infty}.$ Ahora $1/(x^2+\sqrt k\;)$ es estrictamente decreciente en $k$ , por lo que para cualquier $x$ tenemos $|f_n(x)-f(x)|<1/(x^2+\sqrt {k+1}\;)\leq 1/\sqrt {k+1}.$ Desde $1/\sqrt {k+1}\;$ es independiente de $x,$ la convergencia es uniforme.

¿Por qué esta serie no converge absolutamente? ¿Es uniformemente convergente?

Nour

Andrew D Hwang

zhw.

Nour

zhw.

Respuestas (1)

DanielWainfleet

DanielWainfleet

Determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

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Determine si la serie converge absoluta, condicionalmente o diverge.

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