Algunas preguntas sobre el concepto de sistemas indeterminados

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Algunas preguntas sobre el concepto de sistemas indeterminados

matrices
determinante
Matemáticas
álgebra lineal

Arturo556

Estoy leyendo un libro de texto de álgebra lineal y tengo cierta confusión sobre el concepto de sistemas indeterminados. $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ :

Primero, sabemos que para cada vector $\mathbf{y}$ en $\mathbb{R}^m$ el sistema lineal indeterminado es inconsistente o tiene infinitas soluciones. Entonces, ¿hay algunos teoremas que nos digan cuándo el sistema es inconsistente y cuándo tiene infinitas soluciones?
Segundo, si un sistema lineal indeterminado tiene infinitas soluciones, ¿está garantizado que una solución positiva (todos los elementos en $\mathbf{x}$ son positivos) existe?

Sería muy apreciado si alguien pudiera dar alguna explicación sobre ellos.

Pedro

Al determinar los rangos de

A

$A$ y

A

$A$ concatenado con

y

$y$ , en realidad puede decidir si existe una solución única. Si la matriz

A

$A$ tiene tamaño

m \times n

$m\times n$ , entonces la solución es única si y solo si ambos rangos son iguales a

n

$n$ . No existe solución si y solo si los rangos tienen valores distintos.

Pedro

Con respecto a la segunda pregunta: si todos los elementos de la matriz son negativos y los elementos de

y

$y$ son todos positivos, obviamente no puede existir una solución

x

$x$ con sólo entradas positivas.

Respuestas (2)

Algunas preguntas sobre el concepto de sistemas indeterminados

Al determinar los rangos de $A$ y $A$ concatenado con $y$ , en realidad puede decidir si existe una solución única. Si la matriz $A$ tiene tamaño $m\times n$ , entonces la solución es única si y solo si ambos rangos son iguales a $n$ . No existe solución si y solo si los rangos tienen valores distintos.
Con respecto a la segunda pregunta: si todos los elementos de la matriz son negativos y los elementos de $y$ son todos positivos, obviamente no puede existir una solución $x$ con sólo entradas positivas.

Bernardo · Answer 1

De hecho, hay un teorema:

El sistema lineal $Ax=b$ tiene solución si y sólo si la matriz $A$ y la matriz aumentada $[A|b]$ tener el mismo rango. Si este es el caso, el rango común es la codimensión del subespacio (afín) de soluciones.

La diferencia entre la dimensión del espacio ambiental y la dimensión del subespacio. Por ejemplo, un hiperplano tiene codimensión $1$ .

Campo ciclotómico · Answer 2

Puede usar la reducción de filas para determinar una base para el subespacio dado por $Ax=0$ . Entonces tienes que comprobar para ver si $y$ está en el lapso de ese subespacio. Una forma simple de calcular esto es verificar que $A$ y $A$ concatenado con $y$ tienen el mismo rango por reducción de fila.

En cuanto a los valores positivos, tenga en cuenta que un cambio de base puede cambiar los signos. por ejemplo en $\mathbb{R}^4$ si consideramos el lapso de $(1,-1,0,0)$ y $(0,0,1,-1)$ con respecto a la base canónica, no podemos separar las partes positiva y negativa con operaciones lineales, pero si elegimos estos dos vectores como vectores base, puede expresarlos usando coeficientes estrictamente positivos.

Algunas preguntas sobre el concepto de sistemas indeterminados

Arturo556

Pedro

Pedro

Respuestas (2)

Bernardo

Sebastián

Bernardo

Campo ciclotómico

Encuentre la matriz triangular y el determinante.

Determinante de una matriz triangular

Use reducciones de fila para mostrar det(T)=0det(T)=0det(T)=0

Una forma elemental de mostrar que el determinante no es cero

La definición de Determinante en el espíritu del álgebra y la geometría.

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

¿Cuál es una forma intuitiva de pensar sobre el determinante?

Es detdet\det de Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) distinto de cero?

¿Cómo probar usando la fórmula de Leibniz que el determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de sus diagonales?