Es detdet\det de Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) distinto de cero?

La solución de Yuval bajó un exponente; esto se ve fácilmente ya que su primera expresión es de 6° grado y la posterior es solo de 5°. Debería ser

Para el caso general, puede ser útil recordar que se trata de una matriz simétrica y que todas las matrices simétricas se pueden diagonalizar. Además, dado que usted restringió la$x_i$estar en orden estrictamente creciente, todos los$\min$y$\max$las cosas pasan a$M_{i,j} = x_i^2(3x_j - x_i) = 3x_i^2x_j - x_i^3$cuando sea$i \leq j$. Esto es inmediatamente reconocible como$(D_{x_i} - D_{x_j})(x_i^3x_j)$, dónde$D$es el operador diferencial. No sé si alguno de estos hechos es útil, pero seguro que parece sospechoso. Podría intentar demostrar que todos los valores propios son siempre positivos, lo que significaría que la matriz es definida positiva (lo que implica que no es singular).

He verificado para n <= 8 que las matrices son todas positivas definidas (y en particular no singulares).

Esto comprueba$n=2$. El determinante es entonces [gracias, Paul Z]

Tenga en cuenta que la orden o el$x_i$no importa (siempre que sean todos diferentes), y el límite superior$1$no hace ninguna diferencia ya que todo es homogéneo (si multiplica todo por alguna constante, entonces la regularidad/singularidad de su matriz sigue siendo la misma).

El siguiente paso sería repetir el cálculo explícito para$n=3$, e intente factorizarlo o encontrar numéricamente un contraejemplo.