¿Cómo probar usando la fórmula de Leibniz que el determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de sus diagonales?

Esencialmente, la idea es mostrar que solo la permutación de identidad puede producir un producto distinto de cero.

Para ver esto, deja$\sigma$ser una permutación de no identidad. Entonces debe haber alguna$k$con$\sigma(k)<k$. Pero entonces el producto$\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}$contiene$a_{k\sigma(k)}$que se encuentra debajo de la diagonal y por lo tanto el producto es cero.

Entonces el determinante es necesariamente el producto de las entradas diagonales (correspondientes a la permutación de identidad) como desees.

Editar: esto es para matrices triangulares superiores. Para una matriz triangular inferior, use la transposición o ajuste el argumento en consecuencia.

Note que si$n = 1$, entonces el determinante de una matriz triangular superior es de hecho el producto de su (única) entrada diagonal.

Ahora deja$U = (U_{ij}) \in F^{n\times n}$Sea una matriz triangular superior, y suponga que el resultado es verdadero para una matriz triangular superior de dimensión$n-1$. Usando la expansión del cofactor del determinante con la primera columna,

$$\det{U} = U_{11} M_{11} + \sum_{i=2}^n U_{i1} M_{i1},$$ dónde$M_{i1}$es el$(i,1)$menor de$U$. Pero desde$U$es triangular superior,$U_{i1} = 0$para cada$i > 1$, entonces$\det{U} = U_{11} M_{11}$. Ahora$M_{11}$es el determinante de la matriz formada al eliminar la primera fila y la primera columna de$U$, por lo que es una matriz triangular superior de dimensión$n-1$. Por la hipótesis de inducción, su determinante es el producto de sus entradas diagonales, es decir$M_{11} = \prod_{i=2}^n U_{ii}$. Entonces $$\det{U} = U_{11} \prod_{i=2}^n U_{ii} = \prod_{i=1}^n U_{ii}.$$ Dado que el resultado es cierto para$n=1$, entonces es cierto para cualquier dimensión$n$.

Lo mismo ocurre con una matriz triangular inferior, pero también se puede ver desde el caso triangular superior ya que el determinante de la matriz es igual al determinante de su traspuesta.