Determinación de parámetros de y=abx+cy=abx+cy=ab^x+c dados 3 puntos

Siendo las ecuaciones

$$a \,b^{x_1}+c=y_1\tag 1$$ $$a \,b^{x_2}+c=y_2\tag 2$$ $$a \,b^{x_3}+c=y_3\tag 3$$ Entonces, como comentó André Nicolas, escribir diferencias $$a(b^{x_2}-b^{x_1})=y_2-y_1\tag 4$$ $$a(b^{x_3}-b^{x_2})=y_3-y_2\tag 5$$ Haciendo ratios como comentaba André Nicolas $$\frac{b^{x_2}-b^{x_1}}{b^{x_3}-b^{x_2}}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}\tag 6$$ Entonces, te queda una ecuación no lineal en $b$. Cuando tengas $b$, $(4)$o $(5)$daré $a$y luego $(1)$, $(2)$o $(3)$daré $c$.

Salvo casos muy concretos (como$x_2=2x_1$,$x_3=3x_1$por ejemplo reduciría la ecuación$(6)$a un polinomio en$b^{x_1}$; valores igualmente espaciados para el$x$'s hará un buen trabajo - ver al final de esta respuesta). Pero, en el caso más general, resolver la ecuación$(6)$(que no es lineal) requerirá métodos numéricos (Newton probablemente sería el más simple).

Con fines ilustrativos, consideremos tres puntos de datos$(1.5,9.2)$,$(3.1,16.7)$,$(4.7,32.9)$. Entonces, ecuación$(6)$escribir

$$\frac{b^{3.1}-b^{1.5}}{b^{4.7}-b^{3.1}}=\frac{75}{162}$$ El gráfico de la función muestra una raíz cercana a $b=1.5$; El método de Newton convergería a $b=1.61821$; ahora, usando este resultado, $a=3.14089$y luego $c=2.73448$.

En el caso particular en que el$x$los valores estarían igualmente espaciados$(x_2=x_1+\Delta)$,$(x_3=x_2+\Delta)$ecuación$(6)$simplificaría enormemente lo que llevaría a

$$b^{-\Delta}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$$ y $b$se obtiene inmediatamente (quedando el resto idéntico).

Editar

eliminando$a$y$c$de ecuaciones$(1)$y$(2)$y reemplazando en la ecuación$(3)$conduce a una forma más agradable para resolver la ecuación$b$. Es

$$(y_2-y_3)b^{x_1}+(y_3-y_1)b^{x_2}+(y_1-y_2)b^{x_3}=0$$