¿Aplicaciones de la Integral Exponencial?

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¿Aplicaciones de la Integral Exponencial?

asintóticos
integración
Matemáticas
aproximación
funcion exponencial

himmy

Esta es la primera vez que hago una pregunta aquí, así que perdónenme si he cometido algún error de formato.

yo tengo la integral $f(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{x + t} \; dt$ y he mostrado la relación entre $f(x)$ y la integral exponencial, $E_i(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t} \; dt$ .

Mi tarea requiere que encuentre una aplicación para la integral, $f(x)$ , pero como he mostrado la relación entre $f(x)$ y $E_i(x)$ Solo estoy obligado a encontrar una aplicación para la integral exponencial. He tratado de investigar la transferencia de calor dependiente del tiempo y la ingeniería de yacimientos, sin embargo, encuentro que estas dos aplicaciones son bastante difíciles de seguir ya que no puedo ver explícitamente una versión de esta integral en línea.

¿Podría alguien ayudarme con una aplicación y cómo se usa la integral en la aplicación? Si no, algunas sugerencias de sitios web o libros serían de gran ayuda.

Para agregar contexto a la pregunta, he usado una aproximación asintótica y comparé la aproximación con la integral a través de una representación gráfica. Además, también he investigado el error entre la aproximación y la integral.

Gracias de antemano. :)

Respuestas (1)

¿Aplicaciones de la Integral Exponencial?

Jens · Answer 1

Un teorema fundamental de la teoría de la comunicación es el teorema de codificación del canal, que establece que la tasa máxima de comunicación (velocidad de transmisión, en bits por unidad de tiempo, por así decirlo) para la cual el error de decodificación puede hacerse arbitrariamente pequeño, está dada por Shannon. capacidad.

Ahora, para uno de los canales más simples, que es el canal de ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN), la entrada del canal de valor complejo $X$ tiene una potencia de transmisión promedio limitada $\mathsf{E}[|X|^2] \leq P$ , y la salida del canal de valor complejo $Y$ es dado por

Y = X + norte

$Y = X + N$ donde el ruido aditivo

N

$N$ es gaussiana estándar compleja

N_{C} (0, 1)

$\mathcal{N}_\mathbb{C}(0,1)$ .

El receptor intenta decodificar el mensaje codificado por el transmisor en la señal. $X$ de observar la salida $Y$ . La capacidad $C$ de este canal viene dada por una fórmula muy conocida:

C = {registro}_{2} (1 + PAG) bits/unidad de tiempo

$C = \log_2(1+P) \quad \text{bits/time unit}$

Ahora, en las comunicaciones inalámbricas, la atenuación aleatoria del canal se modela mediante una variable aleatoria (debido a la propagación de trayectos múltiples y las fluctuaciones aleatorias de la interferencia de trayectos múltiples constructiva y destructiva). Este fenómeno se llama desvanecimiento . Esto a menudo se modela extendiendo la ecuación del sistema a

Y = H X + norte

$Y = HX + N$ donde el coeficiente de desvanecimiento

H \sim N_{C} (0, 1)

$H \sim \mathcal{N}_\mathbb{C}(0,1)$ es Gaussiana compleja estándar. En este caso, suponiendo que el receptor sabe

H

$H$ , la capacidad está dada por

\begin{aligned} C_{desvanecimiento} & = mi [{registro}_{2} (1 + PAG | H |^{2})] = \int_{0}^{\infty} {registro}_{2} (1 + PAG ξ) {mi}^{- ξ} d ξ \\ = \frac{1}{en (2)} {mi}^{\frac{1}{PAG}} {mi}_{1} (\frac{1}{PAG}) \end{aligned}

$\begin{align} C_\text{fading} &= \mathsf{E}\left[\log_2\left(1+P|H|^2\right)\right] = \int_0^\infty \log_2(1+P\xi) e^{-\xi} \mathrm{d}\xi \\ &= \frac{1}{\ln(2)}e^{\frac{1}{P}}E_1\left(\frac{1}{P}\right) \end{align}$ dónde

E_{1} (x) = \int_{x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t

$E_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t$ . Tenga en cuenta que por la desigualdad de Jensen,

C \geq C_{fading}

$C \geq C_\text{fading}$ . Entonces se puede decir que el desvanecimiento, en cierto sentido, puede ser un obstáculo para la comunicación.

He omitido muchos detalles, pero espero que tengas una idea aproximada.

¡Oh, gracias! No esperaba una respuesta así tan pronto. Definitivamente investigaré un poco más sobre esto :)
buena aplicación! ¿Tiene alguna fuente que pueda ayudar a comprender mejor esta idea?

¿Aplicaciones de la Integral Exponencial?

himmy

Respuestas (1)

Jens

himmy

amantematematicas123

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