Resuelve la ecuación: 32x+1+4⋅3x=1532x+1+4⋅3x=15 3^{2x+1}+4 \cdot 3^x = 15

Resuelve la ecuación: 3 2 X + 1 + 4 ⋅ 3 X = 15 dónde X es un número real.

Antecedentes: Haciendo la pregunta de la Olimpiada y obtuve una del libro.

Intentar:

Dejar 3 X ser tu .

3 2 X + 1 + 4 ⋅ 3 X − 15 = 0 3 2 X ⋅ 3 1 + 4 ⋅ 3 X − 15 = 0 3 2 X ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 X − 15 = 0 3 ⋅ 3 2 X + 4 ⋅ 3 X − 15 = 0 3 tu 2 + 4 tu − 15 = 0

Factorizando la ecuación obtenemos

tu = 5 3

(Eliminamos tu = − 3 como X es real.)

3 X = 5 3

Tomando registro ambos lados

X registro ⁡ 3 = registro ⁡ ( 5 3 )

Ahora quiero saber cómo resolver esto aún más. Además, ¿hay alguna manera más fácil de resolver esto?

Que no es 3 ( 0.5 ) = 1.5 , pero 3 0.5 ≈ 1.7
@Andrei eso es un error tipográfico que hice mientras resolvía en el cuaderno, pero gracias, eliminé esa parte ahora / +1

Respuestas (3)

PISTA:

Quiere encontrar el valor de X

Se puede proceder como

X registro ⁡ 3 = registro ⁡ ( 5 3 )

X = registro ⁡ ( 5 3 ) registro ⁡ 3

X = registro 3 ⁡ ( 5 3 ) por el inverso del teorema del cambio de base

X = registro 3 ⁡ 5 − 1

Para acortar su solución en dos o tres pasos, tome registro 3 ⁡ ( ) a ambos lados

3 X = 5 / 3

registro 3 ⁡ 3 X = registro 3 ⁡ ( 5 / 3 )

X = registro 3 ⁡ ( 5 / 3 )

X = registro ⁡ 5 − registro ⁡ 3 registro ⁡ 3

X = 0.698 − 0.477 0.477

X = 0.221 0.477 que casi se puede aproximar a 0.5

@JitendraSingh, ¿puede decir qué parte de la pregunta desea resolver sin usar logaritmos?
@JitendraSingh Parece como si estuvieras preguntando cómo encontrar el valor de registro 3 ⁡ 5 . Si es así, puede agregarlo en el cuerpo de la pregunta.
En un minuto lo entendí, gracias. Lo aceptaré pronto. ¿Puede decirme si hay alguna forma de resolver la pregunta original sin iniciar sesión?
@soupless y el escritor de respuestas al principio lo necesitaba, pero pronto recordé la identidad para calcularlo y ya no lo necesito.
@JitendraSingh No se me ocurre otra solución que la que escribiste en tu intento. Para resolverlo tienes que convertirlo en un cuadrático y luego sustituir 3 X como tu y luego para conseguir X abajo tienes que usar registro ⁡ ( )
@LalitTolani está bien. Gracias por la ayuda. He aceptado tu respuesta ahora.
@JitendraSingh Espera, tengo algo que decirte. puedes factorizarlo como 3 X ( 3 X + 1 + 4 ) = 3 ∗ 5 = 1 ∗ 15 y luego verifique si se cumple para un valor integral de x, pero eso requerirá tiempo, ya que si no puede obtener resultados satisfactorios de esto, nuevamente debe permitirse la sustitución y los logaritmos
@JitendraSingh Resolvería esta ecuación exactamente como lo hizo (y la seguiría con la continuación de Lalit Tolani). Esta es una forma bastante estándar de resolver este tipo de ecuaciones y es muy fácil de hacer (solo tienes que notar cómo convertirla en una ecuación cuadrática, y el resto es una técnica simple). Estoy bastante seguro de que esta es la forma más fácil de resolverlo.

3 2 X + 1 + 4 ⋅ 3 X = 15 3 ⋅ ( 3 X ) 2 + 4 ⋅ 3 X = 15
dejar tu = 3 X :
3 tu 2 + 4 tu − 15 = 0
Resuelve la cuadrática entonces tienes:
X 1 , 2 = registro 3 ⁡ ( tu 1 , 2 )

Eso depende. Parece que ya tiene una solución corta y puede considerar tomar una base. 3 logaritmo para hacer uno más corto, pero la mayoría de las veces, los logaritmos son de base- mi , que es exactamente lo que hiciste.

Resuelve la ecuación: 32x+1+4⋅3x=1532x+1+4⋅3x=15 3^{2x+1}+4 \cdot 3^x = 15
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