Demostrar una identidad con sumas

Observa eso

$${m\choose k} {n+1\choose m} = \frac{(n+1)!}{k! (m-k)! (n+1-m)!} = {n+1\choose k} {n+1-k\choose n+1-m}.$$

de modo que la igualdad se convierte en

$$2 {n+1\choose k} \sum_{m=k}^{n+1} {n+1-k\choose n+1-m} \frac{n+1-m}{n+1-k} = {n+1\choose k} \sum_{m=k}^{n+1} {n+1-k\choose n+1-m}.$$

Esto significa que buscamos

$$2 \sum_{m=k}^{n} {n-k\choose n-m} = \sum_{m=k}^{n+1} {n+1-k\choose n+1-m}$$

porque el término LHS es cero cuando$m=n+1.$

La igualdad es equivalente a

$$2 \sum_{m=0}^{n-k} {n-k\choose n-m-k} = \sum_{m=0}^{n+1-k} {n+1-k\choose n+1-m-k}$$

cual es

$$2 \sum_{m=0}^{n-k} {n-k\choose m} = \sum_{m=0}^{n+1-k} {n+1-k\choose m}$$

asi llegamos al final

$$2\times 2^{n-k} = 2^{n+1-k}$$

que ciertamente se sostiene.