Desigualdad isoperimétrica, desigualdad isodiamétrica, conjetura del hiperplano... ¿cuáles son las desigualdades de este tipo conocidas o conjeturadas?

La desigualdad que conozco con el nombre de desigualdad isodiamétrica es

$$\frac{\text{vol}(K)}{\text{diam}(K)^d} \le \frac{\text{vol}(B)}{\text{diam}(B)^d}$$ para cualquier cuerpo convexo $K$en $\mathbb{R}^d$, dónde $B$denota la bola unitaria.

Prueba 1: por simetrización de Steiner (que conserva el volumen, disminuye el diámetro y tiende a la bola si se desea). Prueba 2: Si$K$tiene diámetro a lo sumo 2 entonces$K-K\subseteq 2B$; por la desigualdad de Brunn-Minkowski,$\text{vol}(K)\le\text{vol}(\frac12(K-K))$; de este modo$\text{diam}(K)\le\text{diam}(B)\implies \text{vol}(K)\le\text{vol}(B)$, que es equivalente a la desigualdad buscada. Tenga en cuenta que la prueba 2 realmente no usa el hecho de que$B$es la bola euclidiana: en realidad prueba la declaración análoga más general donde tomamos$B$ser cualquier cuerpo convexo con simetría de origen y medir diámetros en la norma cuya bola unitaria es$B$. (La prueba 2 también muestra que esta desigualdad isodiamétrica es en realidad equivalente al caso especial de Brunn-Minkowski que se usó). Todo lo anterior está en el libro reciente de Gruber sobre geometría convexa, por ejemplo.

Otra prueba de la generalización a normas arbitrarias fue dada por MS Mel'nikov ("Dependencia del volumen y diámetro de conjuntos en un$n$espacio de Banach -dimensional", Uspekhi Mat. Nauk 18 (4) 165–170, 1963, http://mi.mathnet.ru/eng/umn6384 ): el hecho clave en esa prueba es que si el diámetro de$K$(en el sentido de$B$) es como máximo 2, entonces el diámetro de$K_t$(en el sentido de$B_t$) también es como máximo 2, donde$K_t$denota el conjunto de niveles de altura$t$de la proyección de$K$(como densidad) sobre un hiperplano fijo; esto permite una prueba por inducción sobre la dimensión, y anticipa la prueba de la desigualdad de Prékopa-Leindler, una generalización de Brunn-Minkowski. (Para Prékopa-Leindler, consulte la lección 5 en An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry de Keith Ball ).

Otra desigualdad del tipo que has preguntado es la desigualdad de Urysohn :

$$\frac{\text{vol}(K)}{w(K)^d} \le \frac{\text{vol}(B)}{w(B)^d}$$ para cualquier cuerpo convexo $K$en $\mathbb{R}^d$, dónde $B$denota la bola unitaria euclidiana y $w(\cdot)$denota ancho medio. (Esta vez realmente importa que sea la bola euclidiana). Dado que $w(K)\le\text{diam}(K)$, esto es un fortalecimiento de la desigualdad isodiamétrica anterior.

Prueba 1: la simetrización de Steiner reduce el ancho medio. De hecho, si$S_u$denota la simetrización de Steiner frente al hiperplano ortogonal a un vector unitario$u$, y$R_u$denota reflexión en ese hiperplano, entonces$h_{S_u(K)}(\theta)=\frac12 h_K(\theta)+\frac12 h_K(R_u(\theta))$, dónde$h_K$denota el funcional de soporte de$K$; ahora integre sobre$\theta\in S^{d-1}$y usa la desigualdad de Jensen. (Obtuve esto de algunas notas inéditas de Giannopoulos.) Prueba 2: Véase el libro de Pisier The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry (Cambridge UP, 1989, p.6; Pisier escribe que aprendió esta prueba de Vitali Milman). En resumen, generalizas la suma de conjuntos de Minkowski a la integración de funciones de valores establecidos de Minkowski, y obtienes un análogo de Brunn-Minkowski:

$$\int_\Omega \text{vol}(A_t)^{1/n} \,d\mu(t) \le \text{vol}\left(\int_\Omega A_t \,d\mu(t)\right)^{1/n}$$ cuando $\mu$es una medida de probabilidad y todo es adecuadamente medible. por simetría, $\int_{O(d)} TK \,d\mu(T)$es algún múltiplo de la bola euclidiana (aquí $O(d)$es el grupo ortogonal en $\mathbb{R}^d$, y $\mu$es su medida de probabilidad de Haar); un cálculo muestra que en realidad es $\frac12 w(K)B$, y el análogo de Brunn-Minkowski anterior termina la prueba.

Como se solicitó en los comentarios, aquí hay una generalización a otros volúmenes intrínsecos :

$$1\le i\le j\le d\implies \frac{V_i(B)^{1/i}}{V_j(B)^{1/j}} \le \frac{V_i(K)^{1/i}}{V_j(K)^{1/j}}$$ (El caso $i=1$, $j=d$es la desigualdad de Urysohn.) Prueba: Un caso especial de la desigualdad de Alexandrov-Fenchel es $$W_i(K)^2 \ge W_{i-1}(K) W_{i+1}(K) \tag{$\ast$}$$ dónde $W_i(\cdot)$denota quermassintegrals: $$W_i(K) = V(\underbrace{K,\dotsc,K}_{d-i},\underbrace{B,\dotsc,B}_i) = \frac{\kappa_i}{\binom di} V_{d-i}(K)$$ dónde $\kappa_i$es el volumen de la $i$-Unidad dimensional Bola euclidiana. Resulta que $$i\mapsto\left(\frac{W_d(K)}{W_{d-i}(K)}\right)^{1/i} \tag{$\dagger$}$$ es una función creciente para $1\le i\le d$. (Usted puede simplemente probar el $i$-vs- $(i+1)$caso por inducción en $i$, pero lo que realmente está pasando aquí es que $i\mapsto\log W_i(K)$es "cóncavo": comillas porque su dominio es discreto. La desigualdad ( $\ast$) es la versión local de esto, análoga a decir que la segunda derivada no es positiva; eso ( $\dagger$) es creciente significa que las pendientes sobre $[d-i,d]$están aumentando con $i$.) Pero $W_d(K) = \text{vol}(B) = W_{d-i}(B)$, por lo que un poco de reordenamiento produce la desigualdad deseada.

(Desafortunadamente, no estoy familiarizado con la literatura sobre Alexandrov-Fenchel, por lo que no puedo dar buenas referencias aquí).

También es posible que desee considerar cosas como la desigualdad isoperimétrica inversa , que afirma que (1) todo cuerpo convexo con simetría central$K$tiene una imagen afín$K'$tal que

$$\frac{V_d(K')^{1/d}}{V_{d-1}(K')^{1/(d-1)}} \ge \frac{V_d(B_\infty^d)^{1/d}}{V_{d-1}(B_\infty^d)^{1/(d-1)}}$$ dónde $B_\infty^d$es el cubo $[-1,1]^d$(es decir, la bola unitaria del $\ell_\infty^d$norma), y que (2) todo cuerpo convexo $K$tiene una imagen afín $K'$tal que $$\frac{V_d(K')^{1/d}}{V_{d-1}(K')^{1/(d-1)}} \ge \frac{V_d(\Delta)^{1/d}}{V_{d-1}(\Delta)^{1/(d-1)}}$$ Estas desigualdades se deben a Keith Ball (consulte la lección 6 de su libro mencionado anteriormente para la prueba y las referencias), basándose en el teorema de John y una versión normalizada de la desigualdad de Brascamp-Lieb. Para una prueba de Brascamp-Lieb en la forma necesaria (y mucho más, incluidos los casos de igualdad en las desigualdades isoperimétricas inversas anteriores), consulte F. Barthe, "On a reverse form of the Brascamp-Lieb inecuality", arxiv:math / 9705210 . (Una versión simplificada para el caso especial unidimensional necesario aparece en K. Ball, "Geometría convexa y análisis funcional", en el volumen 1 de Handbook of the Geometry of Banach Spaces , Johnson and Lindenstrauss (eds.), North-Holland, 2001.)

Creo que mi pregunta ya es muy larga, así que agrego aquí las otras desigualdades que descubrí.

• En la cuestión de la relación entre el ancho medio y el diámetro se señala que para cualquier cuerpo convexo$K$en$\mathbb{R}^d$con diámetro positivo tenemos

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi d}} \simeq\frac{\textrm{Mean-width}(L)}{\textrm{Diameter}(L)} \leq \frac{\textrm{Mean-width}(K)}{\textrm{Diameter}(K)} \leq \frac{\textrm{Mean-width}(\textrm{Ball})}{\textrm{Diameter}(\textrm{Ball})} =1$$

dónde$L$es cualquier segmento de línea. El límite inferior es claro si selecciona$L$ser un segmento que realiza el diámetro de$K$. El límite superior se deriva de la observación de que el diámetro es el mismo que el ancho máximo.

• Dejar$\Sigma$ser un tamaño funcional de grado$k$, para cualquier cuerpo convexo$K$con radio positivo tenemos

$$\frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\textrm{Out-radius}(K)} \leq \frac{\Sigma(\textrm{Ball})^{1/k}}{\textrm{Out-radius}(\textrm{Ball})} =\Sigma(\textrm{Unit-Ball})^{1/k}$$

dónde$\textrm{Ball}$es cualquier pelota y$\textrm{Unit-Ball}$cualquier bola de radio$1$. Esto se ve fácilmente si consideramos la bola más pequeña que contiene$K$, tiene el mismo radio exterior que$K$y es$\Sigma$-la medida es mayor porque$\Sigma$está aumentando bajo la inclusión de conjuntos.

• Por razones muy similares, si$\Sigma$es un tamaño funcional de grado$k$tenemos para cualquier cuerpo convexo$K$con radio de entrada positivo

$$\Sigma(\textrm{Unit-Ball})^{1/k} =\frac{\Sigma(\textrm{Ball})^{1/k}}{\textrm{In-radius}(\textrm{Ball})} \leq \frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\textrm{In-radius}(K)}.$$

• La desigualdad de Blaschke-Santaló puede verse como una desigualdad de este tipo cuando restringimos el conjunto de cuerpos convexos a aquellos que son centralmente simétricos. Por simplicidad supondremos también que el centro de simetría es el origen. Así que consideramos$K$un cuerpo convexo tal que$K=-K$. Nosotros notamos$K^\circ:=\left\{ x\mid x\cdot y\leq 1 \text{ for all } y\in B \right\}$su cuerpo polar. El volumen de Mahler de$K$es el producto de los volúmenes de$K$y su cuerpo polar, a saber:$V(K) V(K^\circ)$. Esto es invariante bajo isomorfismo lineal. La desigualdad de Blaschke-Santaló establece que las formas centralmente simétricas con máximo volumen de Mahler son las esferas y los elipsoides. Pero si observamos que$K\to V(K^\circ)^{-1}$es un tamaño funcional de grado$d$(necesitamos el inverso para hacerlo creciente bajo la inclusión del conjunto). La desigualdad se puede escribir

$$\frac{V(\mathrm{K})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{K}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}} \leq \frac{V(\mathrm{Ball})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{Ball}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}$$ para todos los cuerpos convexos centralmente simétricos$K$con volumen positivo.

• Por otra parte y con las mismas premisas del párrafo anterior, las formas con el mínimo volumen de Mahler conocido son los hipercubos, los politopos cruzados y, más en general, los politopos de Hanner que incluyen estos dos tipos de formas, así como sus transformaciones afines. La conjetura de Mahler establece que el volumen de Mahler de estas formas es el más pequeño de cualquier cuerpo convexo simétrico de n dimensiones; permanece sin resolver (toda la última oración es una cita directa de wikipedia). Nuevamente esta conjetura se puede escribir con el punto de vista de la pregunta:

$$\frac{V(\mathrm{Hypercube})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{Hypercube}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}\leq \frac{V(\mathrm{K})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{K}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}.$$ para todos los cuerpos convexos centralmente simétricos$K$con volumen positivo.

Otra desigualdad muy similar a la desigualdad isoperimétrica es la desigualdad sistólica en sus diversas formas. Esto se puede reformular como una desigualdad para cuerpos convexos en ciertos casos, como un cuerpo centralmente simétrico en$R^3$.

La primera desigualdad publicada de este tipo de desigualdad de Pu para un plano proyectivo real con una métrica riemanniana arbitraria, que afirma que

$$L^2\leq\frac{\pi}{2}A$$ dónde $A$es el área total y $L$es la longitud mínima de un bucle no contráctil en el plano proyectivo real.

Si la métrica tiene una curvatura gaussiana positiva, se puede realizar como el cociente antípoda de una superficie convexa en$R^3$y luego$L$se puede caracterizar en términos de la menor distancia de un punto a su antípoda. Hay varias generalizaciones y una monografía reciente dedicada a este tema.